随机微积分与衍生品（Stochastic Calculus and Derivatives）

Yuxiao Ma · Advanced。 主线：从无套利复制出发，用可用信息与Itô二次变差建立连续定价，再以数值和现金账本核对边界。

1. 本章目标

本章沿一份欧式期权，从离散复制走到连续复制，再用解析式、树与模拟互相核对。读完后，你应能解释Itô二阶项的来源，按给定信息集构造左点积分，区分真实测度与定价测度，并逐行重算一次含股息和融资的离散对冲账本。

验收动作包括：手算一期复制的股票与债券头寸；推导含连续股息的Black–Scholes PDE；给call/put算出同单位Greeks；辨认MC抽样误差、Euler离散偏差与离散对冲误差；用支付折点、无效树概率或未来信息反例说明某种算法何时失效。每个动作都有同章习题与完整答案。所有本章实验标为SIMULATED或CONSTRUCTED。

本章层级为Advanced。先修第4章Taylor与偏导、第6章条件期望与正态/对数正态、第9章约束和维度、第10章合约与支付、第11章价格收益和总收益。第34–36章提供可执行价格与费用边界。普通权益Alpha研究按原路线启动，不需要先学完随机微积分。

2. 为什么 Quant 需要它

投资者预测股票明年涨多少，与交易台报一份欧式call多少钱，面对两个不同任务。预测要估计真实分布；报无套利价格要找一组股票和现金，使其支付与期权一致。若两组组合在所有模型状态都有相同支付，理想市场中的当前价格就必须相同，否则可以买便宜的一组、卖昂贵的一组。

你在离散树里用两个状态解两条方程。连续模型有无穷多路径，每次调整股票数量以抵消即时随机风险，便需要对路径函数求变化。布朗路径不可普通求导，普通链式法则会漏掉一个累积二阶项。这就是从离散复制进入随机微积分的具体原因。

定价模型还提供风险敏感度。做Delta对冲的人需要知道今天持多少股票、下一次何时换仓以及换仓如何影响现金；估计未来涨幅的人需要知道模型的真实漂移和样本证据。把风险中性分布写成未来收益预测，会把定价计算误作交易信号。

3. 直觉：两种状态先解一组复制头寸

教学构造：当前股票100、欧式call行权价100、一年后股价只能是120或80，现金一年增长因子1.05，不付股息。期权支付分别为20和0。持有Δ股和当前金额A的现金，需要同时满足

两式相减得到40Δ=20，所以Δ=0.5；代入下状态，A=−40/1.05。负现金表示借款。上状态股票60、债务40，净额20；下状态股票40、债务40，净额0。复制成本等于50−40/1.05。这里不需要知道真实上涨概率。

用一个辅助概率p，使股票的期望增长因子等于1.05，则1.2p+0.8(1−p)=1.05，p=0.625。把期权支付按这个概率加权再除1.05，也得到复制成本。p的角色来自复制和贴现，真实上涨概率可以是0.3或0.8而不改变上述代数。在多期树里你会逐节点重新解复制头寸；连续极限把这种调整变成可预测的动态持仓。

这棵树只允许两种状态、无费和相同借贷率。若多一个独立风险状态却只有股票与债券，可能无法解出同时复制所有支付的头寸；若付股息，需要把股票价格变化与持有人收到的现金合起来。后面的GBM模型保留单一Brownian风险、连续交易与理想融资，再检查离散执行造成的误差。

4. 数学基础、单位与信息契约

固定到期日T，当前日历时间t，剩余期限τ=T−t，三者以年计。S是除息股票价格（Ex-dividend Price），K是行权价，V是每份只对应一股的期权价值，都用同一报价货币。实际合约乘数应在最终金额外乘，本章不默认为100股。r、q是无风险连续年利率与连续股息收益率；σ是年化波动率，量纲为$\text{年}^{-1/2}$。真实测度下μ专指含股息的总收益漂移，因此股价漂移为μ−q。P/Q用$\mathbb P,\mathbb Q$，put价格用$P_{\mathrm{put}}$或明确局部P，避免把字母P的价格用途混入概率测度。

布朗增量满足$\operatorname{Var}(\Delta W)=\Delta t$，所以W的单位是$\sqrt{\text{年}}$。正态生成器参数scale是标准差，程序传$\sqrt{\Delta t}$，传Δt会把方差写成Δt²。股票收益σΔW无量纲，rΔt也无量纲，指数函数里的每一项因此可以相加。

市场风险价格$\lambda=(\mu-r)/\sigma$的单位是$\text{年}^{-1/2}$：μ、r以年⁻¹计，σ以年⁻¹/²计。因此λW与λ²t都是无量纲。Δ是复制每份期权的股数，A是现金金额；ΔS与A才能相加。程序保留参数名T时，价格/Greeks/MC中的 API T=τ，表示从当前估值时点到到期的剩余年数，不是日历到期日。冻结算例当前t=0，故数值上τ=T，不改其输入。

本章先用$f\in C^{1,2}$表示对时间一阶、对空间二阶连续可微，再把支付函数不光滑的到期点单独作为边界。call的支付$(S-K)^+$在S=K有折点；T>t时GBM的高斯积分使价格在S>0内光滑，并不把终值折点变为普通可微点。

所有策略持仓在网格左点$t_i$依据当时信息确定，赚取区间$(t_i,t_{i+1}]$的变动。数值对冲在观察$S_i$后按同一$S_i$即时换仓，是理想化模拟执行约定；真实数据应用必须另给available_at、signal_time、发送、撮合与trade_time，不能从一次离线数组计算推断可瞬时成交。滤过与适应性在下一节把“当时信息”变成数学条件。

5. 正式定义：从随机路径到可用信息

5.1 随机游走缩放与布朗运动（Brownian Motion）

把一年分N段，每段Δt=1/N，令独立硬币$\xi _i$取±1、概率各1/2。缩放路径的单步是$\sqrt{\Delta t}\xi_i$。N步之和均值0、方差$N\Delta t=1$。若错误地把单步改成$\Delta t\xi_i$，终值方差是1/N，极限退化成0；不缩放单步则方差发散。这组计算解释扩散尺度，CLT只先说明固定终值的分布趋向正态；完整路径弱收敛需要函数型中心极限定理（Functional CLT）和紧性，本章引用其结果，不把有限维CLT当作证明。有限硬币路径也不等于一条Brownian路径。[CH06_DOC_13]

标准Brownian过程满足$W_0$=0、样本路径几乎必然连续、相互不重叠的增量独立且$W_t-W_s\sim N(0,t-s)$。后面用其增量生成路径，连线只是有限观察点的画法。取相容的Brownian滤过时，未来增量还必须独立于当前$\mathcal F_s$。本章使用完成并右连续化的自然滤过；添加提前泄露未来的信息会破坏这个前提。

差商$(W_{t+h}-W_t)/h\sim N(0,1/h)$。对固定有限M，$\Pr(|\Delta W/h|\le M)\to0$，因此该差商族不紧，不能依概率收敛到有限导数。Brownian几乎必然处处不可普通求导（Nowhere Differentiable）是更强的标准定理，需要同时控制所有时点；方差发散本身不是这个定理的完整证明。你仍可对价格函数V(t,S)求偏导，不能对Brownian样本路径用普通速度dW/dt。

5.2 信息、条件期望与鞅

滤过（Filtration）$\mathcal F_s\subseteq\mathcal F_t$表示信息随时间增长。适应过程（Adapted Process）要求$X_t$关于$\mathcal F_t$可测。可测性让你在t只凭已有信息得到$X_t$，而非偷看后来增量。连续时间积分还需要合适的联合可测性，例如渐进可测（Progressively Measurable）或可预测（Predictable）的被积过程；只对每个时刻说“适应”不能自动省掉这些条件。

条件期望（Conditional Expectation）Y=$E[X\mid\mathcal F_s]$满足Y在s时可测，且对每个$A\in\mathcal F_s$，$E[Y1_A]=E[X1_A]$。有限状态中，它就是在已知状态下重新加权求均值。鞅（Martingale）M要求适应、每时刻$E|M_t|<\infty$，并且$E[M_t|\mathcal F_s]=M_s$（s≤t）。这是一个条件关系，单独$E[M_t]$不变不够。

把信息具体画成四个等概率终态。ξ先揭晓，η后揭晓，二者独立公平取±1；设$M_0=0,M_1=\xi,M_2=\xi+\eta$。

$\mathcal F_{t}$严格说是当时可判断事件构成的σ代数；表中的信息组是它的原子。有限状态下，“$\mathcal F_{t}$可测”就是在每个当时无法再区分的组内取同一个值。$M_{1}$在$\mathcal F_{1}$两组内分别恒为+1和−1，故时刻1可得；$M_{2}$在同组内仍有不同值，不能提前把它当作$M_{1}$。条件期望先在组内重算概率：ξ=+1时两态各1/2，均值(2+0)/2=1；ξ=−1时均值(0−2)/2=−1。因此$E[M_2\mid\mathcal F_1]=\xi=M_1$，且$\mathcal F_{0}$下两者均值0，构成鞅。类似地，t<T时$W_T$含未揭晓增量，通常不是$\mathcal F_{t}$可测；“数值已经存进数组”并不把未来变成当前信息。

有限时域反例：t=0,1,2，ξ取±1且等概率；$X_0$=0、$X_1$=ξ、$X_2$=−ξ。三期均值都0，在时刻1你已知道ξ，故$E[X_2\mid\mathcal F_1]$=−ξ≠ξ，X不是鞅。若换成$M_2$=ξ+η，其中η是独立公平硬币，$E[M_2\mid\mathcal F_1]$=ξ=$M_1$，才满足条件。后面左点持仓乘未来独立增量，也依赖这一条件化动作。

5.3 二次变差与Itô积分的定义域

一阶全变差定义为所有有限划分上的$\sup_\Pi\sum_i|X_{t_{i+1}}-X_{t_i}|$。连续可微路径的值是$\int|X'|dt$。Brownian的全变差几乎必然无穷大，而平方增量可以累积成有限值。对确定性划分序列、最大步长趋于0，Brownian二次变差（Quadratic Variation）为

证明本章需要的收敛：$E[Q]=\sum_i\Delta t_i=T$；独立高斯增量满足$\operatorname{Var}((\Delta W_i)^2)=2\Delta t_i^2$，故$\operatorname{Var}(Q)\le2T|\Pi|\to0$。因此$E[(Q-T)^2]\to0$，也推出依概率收敛。定义二次变差过程$[W]_t=t$，并不声称每个有限网格QV恰等于t；任意随机依赖路径的划分需要另行说明。

先定义左点简单过程：$H_t=H_i$于$(t_i,t_{i+1}]$，$H_i$在$t_i$已知，定义积分$\sum H_i\Delta W_i$。对一般渐进可测、$E\int_0^T H_t^2dt<\infty$的H，用简单过程$H^{(n)}$在$L^2(dt\times\mathbb P)$中逼近，再由等距把积分延伸到L²极限。对于本章连续H=W或光滑路径函数，左点取值近似满足所需条件；任意不规则H不能仅凭一个任意左点网格宣称收敛。[CH44_MIT_ITO]

Itô积分（Itô Integral）在上述域中是从0开始的平方可积鞅；特别$E[\int HdW]$=0，且Itô等距（Itô Isometry）为

5.4 SDE、GBM与定价模型

随机微分方程（Stochastic Differential Equation, SDE）$dX=a(t,X)dt+b(t,X)dW$是积分方程的简写，存在/唯一性不能从这个记号自动推出。局部Lipschitz与线性增长是常见充分条件；本章常系数ABM和GBM可以直接写显式解验证，不求解任意系数SDE。

完整写法是对每个t：

第二项不是先求普通dW/du再积分。SDE简写中的dX不能依普通可分离微分规则直接移项积分；下面log变换必须保留Itô二阶项。

欧式期权（European Option）只在固定T支付$h(S_T)$，call为$(S_T-K)^+$，put为$(K-S_T)^+$。后续连续复制假设S>0、常数r/q/σ、σ>0、一个Brownian风险、无交易费用、股票可分割/卖空、同一r借贷、连续可预测交易且策略满足防止翻倍策略等病态的可积/可容许条件。数值代码价格支持T=0与σ=0边界，但测度转换与随机Greeks推导另限于正T/σ。

6. 推导：积分、测度与复制价格

6.1 左点积分为什么带二阶修正

对任何有限数列，$a(b-a)=[b^2-a^2-(b-a)^2]/2$。代入a=$W_i$、b=$W_{i+1}$，再将平方端点差裂项相消，$W_0$=0时得到

这是纯代数有限恒等式。将$Q_\Pi$按上一节L²结果取极限，得到$\int_0^T W_t dW_t=(W_T^2-T)/2$。普通光滑路径从0开始的平方增量和趋0，普通链式法则因此没有−T/2。若改成右点，和是$(W_T^2+Q_\Pi)/2$，极限多出T；两种采样用到的信息与积分定义不同。

等距的简单过程证明也可逐项展开。$E[(\sum H_i\Delta W_i)^2]$的交叉项i<j在$\mathcal F_{t_j}$条件化后为0，因为当时前面的变量都已知，$E[\Delta W_j\mid\mathcal F_{t_j}]$=0；平方项为$E[H_i^2]\Delta t_i$。相加得到$E\sum_i H_i^2\Delta t_i$，再通过L²简单过程逼近给一般等距。对H=W，等距右边$\int_0^T E[W_t^2]dt=T^2/2$，与$(W_T^2-T)/2$的方差一致。

6.2 Itô公式：Taylor展开后保留哪些累积项

为看清增量，先在有界局部系数、足够光滑函数上作展开，所有偏导在左点计算：

时间二阶和时间空间交叉项在累积极限消失；空间平方项保留。写$\Delta X\approx a_i\Delta t+b_i\Delta W$，其平方展开为$a_i^2\Delta t^2+2a_ib_i\Delta t\Delta W+b_i^2(\Delta W)^2$。前两项在局部有界条件及网格细化下消失，最后一项通过加权二次变差趋向$b_t^2dt$的积分。随机增量尺度写成$O_p(\sqrt{\Delta t})$，表示概率意义的尺度，不是每条路径上有统一普通大O上界。

随机左点权重为何仍可换平方增量。 固定确定性划分$0=t_0<\cdots<t_n=T$，令$C_{i}$为$\mathcal F_{t_{i}}$可测且$|C_i|\le K$，K为同一确定常数。设$\varepsilon_i=(\Delta W_i)^2-\Delta t_i$，$R_\Pi=\sum_i C_i\varepsilon_i$。增量独立于左点信息，正态二阶、四阶矩给

i<j时，$C_i\varepsilon_i$与$C_{j}$在$t_{j}$已知，故条件化在$\mathcal F_{t_{j}}$得到$E[C_i\varepsilon_i C_j\varepsilon_j]=0$。不是要求各个随机权重彼此独立，而是下一段中心化平方增量对已有信息条件均值为0。于是

因此$\sum C_i(\Delta W_i)^2-\sum C_i\Delta t_i\to0$于L²。若还要把后一和写成$\int C_t\,dt$，仍需对应过程和黎曼和的收敛条件。可用同样条件化说明$E[(\sum C_i\Delta t_i\Delta W_i)^2]\le K^2\sum(\Delta t_i)^3\le K^2T|\Pi|^2$，而$\sum(\Delta t_i)^2\le T|\Pi|$控制时间平方项。提前使用未来值的权重不满足这一步的条件化前提。

本章光滑函数在停留于紧区域时可将系数/偏导权重限制为有界，再由局部化定理处理离开区域的部分；这说明有界计算怎样连接一般Itô公式，不是用上述短界完成全部余项证明。这里的结论限于确定性划分，不推广到任意路径依赖随机划分。

于是对$f\in C^{1,2}$的Itô公式（Itô Formula）是

这个Taylor论证给出二阶项来源；一般$C^{1,2}$、局部可积系数的定理还需要逼近与局部化来控制余项。本章没有用单个o(Δt)记号替代这些步骤。记账规则(dW)²=dt、dt dW=0、dt²=0表示相应二次变差项在积分极限中的作用，不是有限随机增量逐点普通代数恒等式。[CH44_MIT_ITO, Lecture17]

具体取f=x²、a=0、b=1，$f_x$=2x、$f_{xx}$=2，所以d(W²)=2WdW+dt，积分重得上一节的结果。对二个相关Brownian风险的扩展需要交叉二次变差$d[W^1,W^2]=\rho dt$，本章实现限于一维。

6.3 ABM与GBM的显式解、矩与离散误差

算术布朗运动（Arithmetic Brownian Motion, ABM）用局部a（X单位/年）、b（X单位/√年）写dX=a dt+b dW，直接积分得$X_t=X_0+at+bW_t$，均值$X_0$+at、方差b²t。若用它模拟需非负的股票，正态支撑包含负值会违背模型要求；用于某些价差或允许负值的状态变量须另说明对象。

几何布朗运动（Geometric Brownian Motion, GBM）设股价漂移β，dS=βSdt+σSdW。β是股价漂移的局部符号，P下β=μ−q，Q下β=r−q。对f(S)=log S，有f'=1/S、f''=−1/S²，代入Itô式：

也可从候选显式解反向验证，而不是相信普通分离变量。令$F(t,w)=S_0\exp[(\beta-\sigma^2/2)t+\sigma w]$。其$F_t=(\beta-\sigma^2/2)F,F_w=\sigma F,F_{ww}=\sigma^2F$。对$F(t,W_t)$应用Itô：

指数在有限t和有限Brownian值下严格为正，故$S_{0}$>0给$S_{t}$>0。正性既允许对数变换，也由显式解直接验证；在由正初值出发的解上先作停止/局部化的log推导，再验证正解，不能把普通链式法则遗漏的−σ²/2省掉。

$\sigma W_t$是N(0,σ²t)。用正态指数矩$E[e^{uY}]=e^{um+u^2v/2}$，若Y均值m、方差v，得到$E[S_t]=S_0e^{\beta t}$，$E[S_t^2]=S_0^2e^{(2\beta+\sigma^2)t}$，$\operatorname{Var}(S_t)=S_0^2e^{2\beta t}(e^{\sigma^2t}-1)$。这给终值分布与模拟均值的解析参照，不等于一条样本路径的复合收益率。

网格精确采样为$S_{i+1}=S_i\exp[(\beta-\sigma^2/2)\Delta t+\sigma\Delta W_i]$；Euler–Maruyama近似为$S_{i+1}=S_i(1+\beta\Delta t+\sigma\Delta W_i)$。后者括号可负，例如β=0、σ=1、dt=1、ΔW=−2，得到负100，精确解仍正。这是诊断负价格风险的构造反例，未改入冻结主模拟参数。

强误差（Strong Error）比较共同噪声的路径，本章估计终值$\sqrt{M^{-1}\sum(S_T^E-S_T^{exact})^2}$。弱误差（Weak Error）比较某个函数的期望，本章只用g(S)=S，报告配对均值差$\bar D$及$SE=s_D/\sqrt M$，同时精确与Euler的总体均值分别是$S_0e^{\beta T}$与$S_0(1+\beta dt)^N$。Higham(2001)§5用期望绝对误差定义强阶，并给Euler强阶1/2和适当条件下的弱阶1；本章报告的是终值L²的RMSE，不把两个误差估计量的数字混用。[CH44_HIGHAM2001]

这里还可直接推导线性GBM的总体RMSE。令h=T/N，单步Euler因子X=1+βh+σΔW，精确因子Y=exp[(β−σ²/2)h+σΔW]。高斯指数矩和独立增量给

因此终值均方误差为

对N次幂用N log(1+a h+b h²)展开，各项的一阶h系数合并后得到均方误差的首项为

所以本GBM的总体RMSE为O(√h)。均值差由§6.3两个均值直接展开得O(h)。有限网格图只是抽样估计与这些受限解析参照相容，不能证明任意SDE或支付的收敛阶。

6.4 P到Q：常系数有限时域的测度转换

固定有限T、σ>0，μ为含股息总收益漂移。定义λ=(μ−r)/σ与$Z_t=e^{-\lambda W_t^{\mathbb P}-\lambda^2t/2}$。Z是正密度，$E[Z_t]$=1可由高斯指数矩直接算出；独立未来增量也给$E[Z_t\mid\mathcal F_s]$=$Z_s$。Novikov充分条件$E\exp[\frac12\int_0^T\lambda^2dt]<\infty$在常有限λ/T下等于$e^{\lambda^2T/2}$，满足。这个结论依赖所列条件。[CH44_CMU_RNM]

Girsanov定理给$d\mathbb Q=Z_Td\mathbb P$、$W_t^{\mathbb Q}=W_t^{\mathbb P}+\lambda t$。常数情形还能看见倾斜后的增量：P下ΔW的密度乘$e^{-\lambda\Delta W-\lambda^2\Delta t/2}$，配方后成为N(−λΔt,Δt)，因此$\Delta W_Q=\Delta W_P+\lambda\Delta t$又是N(0,Δt)。密度在不相交增量上分解，保留独立性，连续性由加确定性漂移保留。本章给这一受限验证，不给一般随机λ的完整证明。

将$dW_P=dW_Q-\lambda dt$代入：

q在λ中抵消，因为μ先定义为总收益漂移。这个转换是在同一路径空间重新加权概率，不是把真实投资者预期改成r，也不是证明股票P下回报已知。

6.5 含股息股票的正确鞅

Q下$d(e^{-rt}S_t)=-qe^{-rt}S_tdt+\sigma e^{-rt}S_tdW_Q$。当q≠0，贴现除息股票本身通常不是鞅；$E_Q[e^{-rT}S_T\mid\mathcal F_t]=e^{-rt}S_t e^{-q(T-t)}$。若把现金股息计入贴现收益过程

它在本章有限时域GBM二阶矩条件下为真实鞅。另一个选择是将股息持续再投资：持股数$n_t$满足dn=q n dt，$n_0$=1，因此$n_t=e^{qt}$、财富$e^{qt}S_t$，其贴现值$e^{-(r-q)t}S_t$也为真实鞅。这两种构造现金用途不同；都把股息带入收益，而非只漏看股票价格上的漂移。

6.6 一期复制到多期CRR

q=0时，定义增长$R=e^{r\Delta t}$、股票乘数u>d>0、下/上支付$V_d$/$V_u$，复制方程为ΔuS+AR=$V_u$、ΔdS+AR=$V_d$。相减得$\Delta=(V_u-V_d)/[S(u-d)]$，再代入下状态给$A=R^{-1}(uV_d-dV_u)/(u-d)$。因此

无套利要求d<R<u，才让两个辅助状态权重均严格正。股票和债券的两列支付线性独立（行列式与u−d相关），所以这个两状态市场能复制任意支付；这说明完备性如何出现在具体方程里。

Cox–Ross–Rubinstein树（CRR Binomial Tree）取$u=e^{\sigma\sqrt{dt}},d=1/u$。连续股息用再投资总收益资产解释：从左点Δ股起，股息再投资让右点股数$\Delta e^{qdt}$，两状态复制股票支付为$\Delta e^{qdt}uS$、$\Delta e^{qdt}dS$。相减后的股票头寸多出$e^{-qdt}$，初始成本再整理为

这是本树含q远期增长关系的依据；不能把有股息的股票只用价格变化当总收益。终点股票$S_{N,j}=S_0u^jd^{N-j}$，先算$h(S_{N,j})$，再逐层用当前节点的两状态复制倒推。一层有k+1个节点，递推要同时更新整层，不能覆盖后再读取被改的邻点。

若a不严格在(d,u)内，这棵两状态模型不满足严格无套利；改用更细有效网格或显式拒绝。本章不clip概率，σ=0确定性边界另处理。随N增大，支付折点与网格对齐关系会改变，常见奇偶振荡。所选网格误差变小是数值观察，不能声称相邻N单调收敛。

6.7 连续自融资复制与Black–Scholes/Merton PDE

一份欧式期权由Δ股和现金A复制，V=ΔS+A。自融资（Self-financing）表示调整Δ时从A支付，外部不注资，获得的收益由已有头寸产生：

这条收益方程包括股息和融资。对ΔS用乘积法则会有SdΔ和交叉变差，但它们由现金账户的股票再平衡转移匹配；不能只从V=ΔS+A把Δ当常数无限期持有。本章可容许策略和积分条件保证这些随机收益方程有意义。

先看零费、没有区间收益的瞬时调仓：S=100，卖0.1股，则股票市值减少10货币、现金增加10货币；ΔS+A不变。这10是组合内转移，不是额外收益。若本章光滑Delta在到期前为半鞅，乘积公式可明确写为

相加抵销换仓项和交叉变差，恰得上述自融资收益式。现金A含借款时也用同一r；连续股息进入现金，不自动再投资为股数。这是本章足够光滑Delta的展开，不能要求每个一般可预测策略都有可求的dΔ；一般自融资定义仍用已有头寸的收益积分式。

P下$dS=(\mu-q)Sdt+\sigma S\,dW_P$，Itô给

复制收益方程的随机系数是σSΔ，所以σS>0时必须Δ=$V_S$。其漂移项随之是$(\mu-q)SV_S+qSV_S+rV-rSV_S=\mu SV_S+rV-rSV_S$。两边漂移匹配：

左右减$\mu SV_S$再整理，得到偏微分方程（Partial Differential Equation, PDE）：

真实μ消失是因为同源Brownian风险被复制头寸抵消，其漂移由融资与股息约束；不是因为人为假设μ=r。这里若有另一个不可交易的独立风险、跳跃或交易费用，原复制方程可能不再成立。Merton(1973)§7式(44)以剩余期限写−$V_\tau$，转换到日历t正是本式。[CH44_MERTON1973]

call/put的空间边界分别满足C(t,0)=0、$P_{put}(t,0)=Ke^{-r\tau}$，大S时call趋$Se^{-q\tau}-Ke^{-r\tau}$、put趋0；S=0仅用作连续极限边界，公共API要求S>0。增长条件与这些边界排除无经济意义的PDE解，不能只有终值就忽略解空间。

同一支付的定价导航。 固定$h(S_T)$、当前(t,S)、τ=T−t以及相同融资/股息约定，各层完成不同步骤：

P路径的离散对冲误差检验给定模型下执行账本，是另一任务。Q不是股票真实上涨的预测分布；共享支付不意味着共享P/Q漂移。下节先用call/put有界Delta保证鞅条件，解析验证见§6.10；反向路线在§6.9先积分，再核PDE。

6.8 Feynman–Kac连接：本章为何能用Q期望

Feynman–Kac表示（Feynman–Kac Representation）把扩散生成元的PDE解与条件期望联系起来。本章限于常r/q/σ、σ>0、正S、有限T、call/put连续且至多线性增长的支付，以及τ>0内$C^{1,2}$且具有相应增长/可积性的解。

对u∈[t,T)的$Y_u=e^{-r(u-t)}V(u,S_u)$用Q下Itô公式，漂移为贴现后的PDE左侧，恰为0；随机项为$e^{-r(u-t)}\sigma S_uV_SdW_Q$。call/put的$|V_S|$有界于由q/T决定的常数，而有限时域GBM有二阶矩，所以该随机被积项平方可积，Y是可用于条件期望的真实鞅。到T用支付连续性和增长界取可积极限，得到

Q下GBM的Markov性质让条件期望可写成只依赖当前t/S的函数。局部鞅没有自动获得真实鞅的期望守恒，所列矩条件是这一推导的一部分。反方向在本章用下面的显式高斯积分得到光滑价格，再核对PDE；没有对任意不规则支付或退化/不连续系数宣称无条件成立。

6.9 正态积分得到call/put和d1/d2

给定当前S和τ，Q终值为$S_T=S\exp[m+vZ]$，m=(r−q−σ²/2)τ、v=σ√τ、Z~N(0,1)。行权条件Z>−d2，其中$d2=[\log(S/K)+m]/v$。因此行权概率Φ(d2)，支付中的K项期望是KΦ(d2)。

股票项需要带指数权重的截断正态积分。令φ为标准正态密度，配方恒等式$e^{vz}\phi(z)=e^{v^2/2}\phi(z-v)$，所以

定义d1=d2+v，m+v²/2=(r−q)τ。贴现股票项和行权价项给Black–Scholes/Merton解析式（Black–Scholes/Merton Formula）：

d2对应Q行权概率；d1来自股票支付的指数加权，Φ(d1)不是同一Q下未经加权的行权概率。Delta将是$e^{-q\tau}\Phi(d1)$。从call与put终值差$S_T-K$，或用Φ(x)+Φ(−x)=1，得到看涨看跌平价（Put-call Parity）：$C-P_{put}=Se^{-q\tau}-Ke^{-r\tau}$。r可负，前述贴现关系仍成立。

6.10 Greeks：先约定导数，再消去重复项

Greeks是局部风险敏感度，求偏导时其他合约参数固定。$\Delta=V_S$（复制股/份），$\Gamma=V_{SS}$（Delta每单位S的变化），$\mathcal V=V_\sigma$（货币/单位年化波动参数），$\Theta=V_t=-V_\tau$（货币/年），$\rho=V_r$（货币/单位连续年率）。小参数变化的一阶金额近似为导数乘变化量，Δσ=.01和Δr=.01才分别表示1个百分点；这种导数不是一次完整大幅冲击的精确价格差。

解析求导先用$Se^{-q\tau}\phi(d1)=Ke^{-r\tau}\phi(d2)$。证明它只需把d1=d2+σ√τ代入两个高斯密度的比：$\log[\phi(d1)/\phi(d2)]=-d2\sigma\sqrt\tau-\sigma^2\tau/2$。再代入d2，结果为$-\log(S/K)-(r-q)\tau$。因此对S求导时，d1/d2的链式项相消，剩$\Delta_{\mathrm{call}}=e^{-q\tau}\Phi(d1)$，put可由平价减$e^{-q\tau}$。再对S求导，$\frac{\partial d1}{\partial S}=\frac1{S\sigma\sqrt\tau}$，得到Gamma。

对σ求导时，价格中的两个CDF链式项变成同一密度系数乘$(d1_\sigma-d2_\sigma)=\sqrt\tau$，所以$\mathcal V=Se^{-q\tau}\phi(d1)\sqrt\tau$。对r求导，$\frac{\partial d1}{\partial r}=\frac{\partial d2}{\partial r}=\frac{\sqrt\tau}{\sigma}$，链式项相消，剩行权价贴现项的导数；Theta可由已知Delta/Gamma代回PDE求−$V_\tau$，亦可直接对期限求导。最终为

PDE给逐情景核对$\Theta+(r-q)S\Delta+\sigma^2S^2\Gamma/2-rV=0$。put与call的Theta可以有不同符号，不能把时间损耗理解成一切参数下必负。中心差分用(V(x+h)−V(x−h))/(2h)，Gamma用二阶差分/h²；日历Theta要对期限差分取负。有限步长有截断误差，太小则相消放大舍入。到期折点左右导数不同；本API全部T=0/σ=0 Greeks拒绝，文档也说明非折点的确定性导数未实现。

6.11 Q下Monte Carlo与对偶变量

本段把当前估值时点平移为0；段内T记平移后的剩余期限，即原时标的τ=$T_{\text{到期}}$−$t_{\text{当前}}$。下式终值下标T同属这一平移时标，API参数T也等于τ。任意当前t不能把未减t的日历到期日直接传给MC。

蒙特卡洛（Monte Carlo, MC）取独立$Z_i$，用Q精确终值$S_T^{(i)}=S\exp[(r-q-\sigma^2/2)T+\sigma\sqrt T Z_i]$，贴现支付$Y_i=e^{-rT}h(S_T^{(i)})$。欧式仅依赖终值，精确采样消除了Euler时间离散偏差；有限随机样本仍有抽样误差。价格估计mean(Y)、$SE=s_Y/\sqrt M$，在本章有限方差及足够M下用正态近似95%CI=mean(Y)±1.95996398454SE；不是精确有限样本覆盖声明。

对偶变量（Antithetic Variates）让每个独立$Z_i$同时生成$Z_i$与−$Z_i$两条路径，$X_i=(Y_i^++Y_i^-)/2$。M个$X_i$彼此独立；同对两支付相关。正确SE=$s_X/\sqrt M$，$\operatorname{Var}(X)=[\operatorname{Var}(Y^+)+\operatorname{Var}(Y^-)+2\operatorname{Cov}]/4$。本章单调香草支付的反偶相关通常有利于减少方差，但不把这个数值结论推广到任意支付。相同独立样本数下反偶使用两倍终值支付计算，比较计算成本时要写清。

样本数趋大时SE的典型尺度为$M^{-1/2}$，某一批实际价格误差不需要单调。一次解析价格落入CI只是该次随机结果，算法正确性由解析/金融恒等式、独立公式复算和边界拒绝共同核验。随机样本M=1不能估s²；确定性σ=0/T=0才可直接返回SE=0与单点区间。

6.12 离散Delta对冲账本：每个区间谁收到现金

模拟P股价漂移μ−q，初始资本$V_0$等于Q模型价格。买$\Delta _0$股，现金$A_0=V_0-\Delta_0S_0-\mathrm{fee}|\Delta_0|S_0$。这样初始购买费用已在资金里扣除，并不暗中追加资本。

设dt=T/N，上一个换仓后的股数$\Delta _{i-1}$和现金$A_{i-1}$固定。区间末换仓之前，现金按协议近似递推：

连续模型的现金股息是$\int q\Delta S_u\,du$；本式用左点价和固定旧持股的区间股息近似，并把区间现金流统一在右端记账，未计每笔期内股息不同融资时点。它和连续公式有离散偏差，不能因为S终值精确采样就说整个对冲账本精确连续复制。

现在观察$S_i$，用剩余期限$T-t_i$算新Delta（只用于随后区间），换股$\delta\Delta=\Delta_i-\Delta_{i-1}$，现金

到期强制$\Delta _N$=0，清仓费也扣除，最终误差$A_N-h(S_N)$。现金与股数必须同时对账；借款A负时同一个r表达融资成本，本模拟没有真实借贷利差。费用总额$\sum\mathrm{fee}|\delta\Delta|S$只是名义现金费加总；费用带来的到期资金差还包括融资机会成本，因此不能把两个频率误差均值之差机械等同费用均值。

7. 金融解释：价格、概率与对冲资金

股票价格变化与股票总收益必须分开。持有Δ股会收到ΔqSdt股息；借款余额按r计息。若从复制账本漏掉股息，PDE里的股票项会从r−q写错为r，call和put的价格与Delta也会随之错配。相同支付、相同融资和相同现金流归属才允许比较两个定价算法。

$\mathbb Q$是与模型无套利相容的测度。在本章一个Brownian风险、股票加现金、σ>0、允许连续交易且策略有适当可积性的完备模型内，可复制的欧式支付有唯一模型价格。完备性强调每个允许的支付能用可交易资产复制；只有无套利而不完备时，一般未必唯一。σ=0是确定性边界，不能直接把市场风险价格λ=(μ−r)/σ的转换公式套进去。

MC在Q下求期望来算价格；离散对冲实验在P下设定含股息μ=.08来检验给定模型路径中的误差。这两个实验共享r、q、σ和支付，但任务、测度与漂移不同。对冲误差定义为清仓后现金减期权支付，正值表示复制组合多余资金，负值表示复制短缺；这不是持有一份期权的投资收益率。

无费用连续复制给一个模型基准。离散换仓会留下Gamma风险，股息与现金区间近似也有误差，增加换仓次数还会增加费用。费用10bp是构造参数，既没有盘口验证，也没有市场冲击估计。对冲图与真实盈利能力之间仍缺报价、延迟、借贷、跳跃风险与数据许可的验证环节。

8. Numerical Example：冻结的欧式定价与对冲实验

全部为SIMULATED / CONSTRUCTED，每份支付对应一股；输入$S_0$=K=100、T=1年、r=.05、q=.02、σ=.20。首轮运行前固定协议，历史输出原位于build/batches/A9-A/r1/runs/experiment_output_02，现已归档；原运行身份见归档索引。下面沿用历史根独立运行并已接受的数值；现存独立根结果见results.json。现存根结果与归档作者运行保留各自身份，本双语批次未重新运行或提取归档。所有金额为每股同币种教学金额。

8.1 手算与解析价格的中间值

无股息单期树的复制股数.5、现金−38.0952380952，价格11.9047619048，上状态20、下状态0、辅助p=.625，与§3方程对应。它的乘数1.2/.8和增长1.05与主案例的CRR网格不同，不能把两个价格差称算法误差。

主案例log(S/K)=0，(r−q+σ²/2)T=.05，σ√T=.2，因此d1=.25、d2=.05。股票贴现金额$100e^{-.02}=98.0198673307$，行权价贴现金额$100e^{-.05}=95.1229424501$；乘上各自CDF再相减得到call 9.2270055082，put 6.3300806275。平价差2.8969248806，计算残差在双精度范围内为0；该恒等式比一次模拟区间覆盖更直接检查股息/贴现。

8.2 CRR与解析式对照

25/50/51与100/101展示奇偶与支付网格对齐影响。call/put误差因本模型的平价关系在图中重叠。有效概率随步长重新检查，图中的连线只用于读相邻选择；没有声称单调收敛。

8.3 Q下精确终值MC

seed4401，反偶的独立单位是配对均值。每行M个独立配对、2M终值支付计算，95%区间是正态近似。

50000个普通独立路径的call SE=0.061862；同样50000独立配对的SE=0.032531。支付计算次数不同，不能称同计算成本比较。一次覆盖不证明算法正确，误差也不会随每次增加M单调缩小。

8.4 Brownian的有限QV与极限

seed4402，1024条1024步细增量，再聚合成嵌套网格；T=1。

每一行有限恒等式都使用该行实际QV；最后一列才把QV换成理论极限T。样本均值/SD与理论$E[QV]$=1、Var(QV)=2/N参照。seed/网格的数值趋势不是所有划分/路径的一般证明。

8.5 P下GBM精确与Euler共用增量

seed4403，4096条细路径，含股息μ=.08、股价漂移.06。强误差使用同一Brownian路径的终值差D，弱差是有符号mean(D)，并报告paired SE。

细网格强误差量级与Euler强阶1/2相容；弱样本差在1024步反而比256步大，配对SE解释了不能要求它单调。精确模型$E[S_1]$=106.183655，矩与终值分布来自§6.3。上述网格Euler未观察负值，只说明本次抽样；额外构造dW=−2的例子仍能使Euler负价。

8.6 Greeks与步长

Vega/Rho按单位参数，Theta按日历年。S80/100/120固定其他输入，call/put都核对中心差分；最大绝对误差跨不同单位仅作逐项容差的执行摘要，不能把它称统一经济距离。

逐情景/逐指标中心差分绝对误差均小于2.2e−6（按各自单位），h=.0001、股价步长$h_S=S\cdot h$。call基础Vega=37.9011575100，所以1pp波动冲击一阶近似.3790115751；S80的put Theta为正，不能给所有期权统一“时间一定损耗”的符号断言。

极小h=1e−8已经失真；源代码保留这个负面诊断。

8.7 P下离散Delta对冲和费用

seed4404，256条共同3276步Brownian细路径，聚合12/52/252步；P股价漂移μ−q=.06，与Q定价的.03分开。fee=.001是单边10bp，含初始/清仓，金额单位每股。

无费提高频率降低了本次误差SD；有费高频的均值更负、平均费用增大，252步95%分位也负。这个比较保留复制短缺与费用，不给一种频率的实盘盈利保证。误差均值之差含费用的融资拖累；总费用只是名义加总。

8.8 一条完整账本的现金与股数核对

路径0，12步、fee=.001，时间i/12年。以下表分开列旧头寸现金流与当前换仓，现存独立根运行的未舍入值见ledger_n12_cost0.001.json，归档作者载荷另按上述索引查阅；读者用第18节代码对实际浮点值对账，不用六位显示精度要求1e−10。

期初现金=模型价−股价款−初始费；每个区间由上行股数领取股息。末行股数0且股票市值0，清仓现金减支付就是该路径误差。现金费和融资成本会降低复制资金，即使终值股票路径相同。

9. Python Implementation

本节所有公共定价参数名T均表示剩余期限τ（年）；例如日历t=.25、到期$T_{\text{到期}}$=1，传API T=.75。Greeks的Theta仍是日历时间导数−$V_\tau$，不因API名字叫T而改号。

核心计算位于src/quant_course/stochastic_calculus.py与derivatives_pricing.py，CLI和Notebook复用它们。CLI以课程根为工作目录，使用已存在的.venv，所有价格按每股货币计；新输出目录必须不存在，失败目录保留后换新路径继续。

.venv/bin/python code/ch44_stochastic_derivatives.py \
  --output-dir runs/reader_01
.venv/bin/python -m pytest \
  tests/test_stochastic_calculus.py tests/test_derivatives_pricing.py \
  tests/test_ch44_root.py -q

CLI记录固定种子、Q下MC与P下对冲、解析/树误差、Greeks差分、共同Brownian增量、每个网格的误差估计量、图与一条完整现金账本。Notebook从干净kernel按首单元顺序运行，调用核心函数，现场生成PNG；它的较小演算不代替CLI的完整冻结实验。

公共价格函数拒绝NaN、无穷大、非正S/K、负σ/T和无效call/put类型；r可为负。树无效概率拒绝，不截断到0或1。到期和零波动价格按确定性支付处理。Greeks API的支持域为T>0、σ>0；到期或零波动输入明确拒绝，其中支付折点没有普通唯一导数，而非折点可有某些确定性导数，但此API不提供它们。极端参数导致浮点范围不足时应明确报错，不返回看似有效的NaN。

左点积分函数检查维数、形状和有限数值，不能从一块数值数组推断其信息来源。被积过程适应性的证明属于调用方。GBM函数的drift直接是股价漂移：P下传μ−q=.06，Q下传r−q=.03，函数不再次扣q。

10. Visualization

本章八张实际生成图已放在第8节对应数值旁，避免把读图与计算拆开。输入、单位、随机种子与样本数跟随各图解释；SIMULATED标签在图上。Brownian连线不代表光滑路径，QV灰线是总体极限，树误差连线不表示单调，MC误差棒是抽样区间，Delta曲线是局部模型敏感度，对冲直方图来自P而非Q。

图可由独立CLI在一个新目录重建，输出结果与PNG同时保留。

11. Real Market Example：模型提出的可检验问题

本章没有下载真实期权链，也没有报告真实市场报价与模型价格差。因此模型内三种定价方法相符，只验证数值实现和条件模型的关系。你可以向具备许可的供应商提出一个实际检验：同一标的、到期、行权价、币种、时间戳、买卖报价和股息曲线下，求每个有效报价对应的隐含波动率（Implied Volatility），检查它是否能由一个常数σ解释。

波动率微笑（Volatility Smile）或偏斜（Skew）指隐含波动率随行权价等合约变量变化。它是由价格反解出的模型参数图案，不是观察到的真实测度收益分布，也不能直接解释成某个交易Alpha。用中间价反解之前，应检查bid/ask范围、支付约定和股息；常数σ模型若在许多行权价出现系统差异，可能需要随机波动、局部波动或跳跃模型，同时仍需验证其对冲表现。

原Black–Scholes论文假设无股息和无交易费用；Merton的股息扩展支持本章q项。两篇论文的理论来源不等同于本章进行了它们的市场实证复现。真实案例状态为待许可数据验证，缺口包括行情URL/许可、下载日期与版本、样本期间、同步报价与撮合延迟、币种一致的利率/股息、哈希及可复现清洗。本章不生成虚构波动率曲面或市场价格来填这张证据表。

12. Common Mistakes：用可运行反例诊断

错误一把Brownian路径当普通光滑路径，以$\int WdW=W_T^2/2$计算，漏掉二次变差的一半。有限网格正确值为$(W_T^2-\sum\Delta W^2)/2$，极限是$(W_T^2-T)/2$。44-P01的错误/修复代码会给出两者差值，而非只用文字说“注意随机性”。

错误二把终值$W_T$复制到每个左点作为被积值。程序能相乘，但这个被积过程提前使用未来信息；其终值是$W_T^2$，期望T，与适应平方可积Itô积分的零期望不同。形状合格不能修复前视；未来后缀扰动的检查只提供某条代码信息依赖的负面证据，不能从有限测试证明一切输入都适应。

错误三把Q下r−q替成P下μ−q再按r贴现。这样算的是一个P下折现期望，通常不能复制欧式支付。44-P03同时计算正确Q模型与错误漂移构造，比较价格；σ>0、完备无套利的模型条件决定Q的角色。

错误四对相关反偶路径按2M个独立样本算SE。44-P04从同一z生成两边支付，再先配对平均；正确SE来自M个配对平均的样本方差。错误的SE方向取决于支付相关性，本章示例不能被写成对任意支付都缩小SE的定理。

错误五把Vega写成“一个百分点价格变化”等于原解析导数，或把Theta剩余期限导数当日历时间导数。44-P04给同单位中心差分及1pp换算。步长过小会因相消使Gamma失真，步长过大带来截断误差；更多有效小数位不保证更准确。

错误六在对冲账本只记股票换仓、忘记原现金计息和原持仓的股息，或按新Delta追溯领取过去股息。44-P05逐行重算旧持仓的区间现金流、当前换仓、初始与清仓费用，错误账本与正确结果的偏差另展示。使用未来Delta或漏费都会改变金融任务。

13. Quant Research Application：从模型检查到数据实验

研究问题可以是“提高离散对冲频率是否降低费用后的复制损失风险”。先固定标的/支付与误差符号，把无费连续模型作为基准，再冻结候选频率、单边费用、P下路径参数、样本数与种子。本章先做模型内敏感性，保留均值、SD、分位数与费用；一次种子下误差更小不证明另一种市场环境也更好。

进入真实数据时，先按时间顺序划分用于估计波动/股息/费用的训练段和只评估一次的后段，保证每次对冲只用当时已知信息。记录每次bid/ask和成交资格、现金利率与借贷差异，按固定支付结算，并与不对冲、固定Delta、低频Delta等简单基准比较。价格误差、对冲风险与交易策略净收益分开报告。

反证条件是预先指定的：常数σ无法解释报价范围、跳跃/尾部复制短缺超过风险限额、增加频率后的费用抵消误差改善、同步/许可数据不足以复现。任一情形都可推动模型或执行假设修订，但看过后段后更改参数须标记事后探索，不能回写为预注册。本章结果只交付上述模拟教学候选，没有完整真实衍生品项目验收。

14. Chapter Summary

两个状态的复制方程给风险中性概率；信息集限制可用的动态持仓；Brownian二次变差解释Itô二阶项；GBM把这些条件组合成正价格路径。连续自融资复制消去真实漂移，留下含r、q、σ的PDE，条件风险中性期望连接解析式与数值方法。

实际使用时，先核对支付和单位，再看模型与信息条件，然后选择解析、树或MC。用差分查Greeks、以独立样本单位算SE、以完整现金账本查对冲误差。数值一致性支持实现；真实报价、费用和跳跃仍决定模型应用边界。

15. Exercises

44-E01：尺度与证明范围

给一年N步公平硬币随机游走，单步分别取ξ/√N与ξ/N，求终值方差。Brownian差商服从什么分布？解释为什么这排除固定时点有限的依概率导数，以及为何不能仅凭此证明几乎必然处处不可导。对确定性网格推导QV期望与方差界。

44-E02：无条件均值不等于鞅

ξ为公平±1，$X_0$=0、$X_1$=ξ、$X_2$=−ξ。写出三期均值和$E[X_2\mid \mathcal F_1]$，判断鞅。把$X_2$改为ξ+η（η独立公平±1）再判断。说明连续Itô被积过程除了逐时刻适应还需要什么可测/可积条件。

44-E03：有限网格与极限

构造路径W=[0,.2,.1,.4]，计算平方增量和、左点和与右点和。用裂项求和推导两种和的一般式。设Brownian的T=1，解释将QV换成1时哪个等号只在极限成立。

44-E04：GBM与共同噪声

在P下μ=.08、q=.02、σ=.2、$S_0$=100，求股价漂移、log价格漂移、$E[S_T]$、Var($S_T$)及T=1的表达式。推导Euler递推，给负价格构造反例。写强终值RMSE与弱g(S)=S的配对估计量；弱误差是否必须逐网格单调？

44-E05：测度与股息鞅

同一参数且r=.05，求λ、$Z_t$、$W_Q$及Q股价漂移。证明有限时域Novikov满足，并分别写贴现除息价、计入现金股息的贴现收益过程、股息再投资财富的漂移。说明σ=0时为何不能用λ式。

44-E06：单期复制

用$S_0$=K=100、$S_u$=120、$S_d$=80、银行增长1.05、q=0，求复制股数、初始现金/债券头寸、call价格及辅助风险中性概率，核对两个状态。真实上涨概率改为.3时复制价格如何变化？

44-E07：自融资与PDE

从V=ΔS+A、dA中的股息融资流及Itô dV出发，逐项推导含q的PDE；指出为何对ΔS直接用普通乘积法则会错把换仓当外部注资。写欧式call/put终值及σ>0域和借贷/交易假设。

44-E08：d1/d2与条件定价

从Q下log终值正态，分别积分$E_{\mathbb Q}[1_{\{S_T>K\}}]$与$E_{\mathbb Q}[S_T1_{\{S_T>K\}}]$，说明d2和d1的不同角色。写put-call parity与受限Feynman–Kac连接的条件，并说明同一公式不能直接换P漂移。

44-E09：Greeks单位

给Delta/Gamma/Vega/Theta/Rho定义，Theta以日历时间、Vega与Rho以单位参数计。写call/put含q解析关系；1pp波动率冲击如何换算？到期S=K的普通Delta是否唯一？极小中心差分步长为什么会失真？

44-E10：对偶MC的SE

有M个独立$z_i$与相关反偶支付$Y_i^+$、$Y_i^-$。写价格、配对均值方差、SE与95%正态近似CI。说明为什么2M路径不能当2M独立观察；一次解析价格落入CI能证明什么？

44-E11：信息组与加权二次变差（新增）

沿§5.2四终态表填$M_{2}$及两组$\mathcal F_{1}$条件均值，说明$M_{2}$为何不在$\mathcal F_{1}$可测而其条件期望可测。固定确定性划分，$C_{i}$为左点可测且$|C_i|\le K$，补出i<j交叉项消失的条件化步骤与$E[R_\Pi ^2]$上界。T=1、四个等步长、K=2时上界是多少？这是否证明任意随机划分结论或一般Itô全部余项？

44-E12：现金转移、显式解与时标（新增）

S=100、零费零区间收益，持股从.6变.5、原现金A=−50，逐项算换仓前后总价值。写本章光滑Delta的现金抵销式。对指数GBM解写$F_t$、$F_w$、$F_{ww}$并核SDE，说明正性。日历t=.25、到期1年时定价API T应传什么？给λ的单位。

16. Programming Exercises

44-P01：有限积分与信息诊断

生成seed4402的16条1024步Brownian路径；核对有限恒等式最大残差、T极限差以及未来后缀改动不影响前半积分。再计算H=$W_T$的前视和，展示其非零均值理论参照与等距失效，不给这个过程贴合格Itô积分标签。空数组与NaN必须被拒绝。

44-P02：嵌套共同增量

按冻结协议4096条1024步细增量聚合成16/64/256/1024步，计算GBM精确与Euler终值强RMSE、配对弱均值差和SE。比较解析Euler均值与精确均值；错误地用独立噪声比较时，指出差值估计的对象如何变化。不要用弱样本均值单调性作为验收断言。

44-P03：三种价格与拒绝边界

核对基础call/put、parity、多网格CRR、MC的Q漂移；构造错误地用μ−q=.06的贴现期望，用同z比较金额。测试无效树概率必须拒绝、负利率可以使用、到期/零波动价格正确。

44-P04：Greeks与相关样本SE

对S=80/100/120的call/put做同单位中心差分，扫描h=.01/.0001/.000001/.00000001的Gamma误差。用1000个seed4401独立z复算反偶配对SE和错误的展平SE，报告二者。T=0/σ=0的Greeks API明确拒绝；随机MC一个独立样本无法估SE，应拒绝。

44-P05：逐行对冲账本

对路径[100,110,105,90]的一年三步call按r=.05、q=.02、σ=.2、K=100、fee=.001复算每行：旧现金融资、旧持股股息、换仓数量/价款、单边费用、新现金、股票市值、最终清仓和支付差。核对现金与股数，展示漏掉股息的错误结果差。改变未来后缀不应影响已完成的账本前缀。

17. Challenge Problems

44-C01：前视与模型边界

额外先修：正态四阶矩。固定$H_t=W_T$，求离散和的极限、均值与平方期望，比较$E\int H^2\,dt$。说明为何不能借此宣称现实套利。评分：代数结果3分，四阶矩/等距3分，信息与金融边界4分。

44-C02：对冲频率与费用的反证

在冻结P路径结果中比较12/52/252步、有费与无费的误差SD、负尾部分位数与平均费用。提出一个带训练/评估分离的真实报价检验计划及两个推翻“高频更好”的条件。评分：误差/成本和单位3分，可复现时间/许可计划3分，负面结果和事后探索边界4分。开放题不能以一种频率的均值最高为唯一正确答案。

18. Solutions / Solution Hints

44-E01

第一种终值方差N/N=1，第二种N/N²=1/N。Brownian差商N(0,1/h)，固定M时落入[−M,M]的概率趋0，排除向有限随机变量的依概率收敛；处处不可导定理仍需控制所有时点。独立平方增量给$E[QV]=T$，$\operatorname{Var}(QV)=2\sum_i\Delta t_i^2\le2T|\Pi|$，所以L²收敛。CLT给终值/有限维分布，路径弱收敛另需函数型CLT与紧性。

44-E02

均值均0；$\mathcal F_1$已知ξ，所以条件期望−ξ不等于ξ，不是鞅。改成ξ+η后条件均值ξ，因为独立η均值0；t=0的条件关系也成立。Itô需要例如渐进可测/可预测及$E\int H^2\,dt$有限，连续适应过程满足相应可测性，仍须另行满足前述平方可积条件；“数组左列”不证明信息条件。

44-E03

增量[.2,−.1,.3]，QV=.04+.01+.09=.14；左和0·.2+.2·(−.1)+.1·.3=.01；右和.2·.2+.1·(−.1)+.4·.3=.15。一般左和$(W_T^2-W_0^2-QV)/2$，右和$(W_T^2-W_0^2+QV)/2$，两者差QV。Brownian从0出发时QV→T=1才让左和趋$(W_T^2-1)/2$。本构造数列的终值.4和QV.14没有被宣称为Brownian的必然值。

44-E04

β=μ−q=.06，log漂移β−σ²/2=.04。$E[S_1]=100e^{.06}$；$\operatorname{Var}(S_1)=10000e^{.12}(e^{.04}-1)$。Itô对log的一阶项β、二阶项−σ²/2给显式解，再用正态指数矩得到价格矩。Euler为$S_{i+1}=S_i(1+\beta dt+\sigma dW_i)$，β=0、σ=1、dt=1、dW=−2给−100，是额外构造边界反例。$D_m=S_T^E-S_T^{exact}$使用同噪声，强RMSE=√mean(D²)，弱均值差mean(D)，SE=std(D,ddof=1)/√M。抽样误差可使弱估计不单调；总体均值偏差可直接由$100(1+.06/N)^N-100e^{.06}$计算。

44-E05

λ=(.08−.05)/.2=.15，$Z_t=\exp(-.15W_P(t)-.01125t)$，$W_Q=W_P+.15t$。Novikov期望exp(.01125T)对固定有限T有限；常数增量密度配方给N(−λdt,dt)，平移后是Brownian。P股价漂移.06减σλ=.03得到Q漂移r−q=.03。贴现除息价漂移$-qe^{-rt}S$；现金股息计入的G漂移0；再投资股数exp(qt)，贴现财富exp(−(r−q)t)S漂移0，在有限时域GBM矩条件下为真实鞅。σ=0分母为0，不能从λ式定义该转换，确定性价格须单独处理。

44-E06

相减得Δ=.5。下状态.5·80+1.05A=0，因此A=−40/1.05；若$B_0$=1，债券单位头寸也为A。上状态60−40=20，下状态40−40=0，初始价格50−40/1.05。p=(1.05−.8)/(1.2−.8)=.625，贴现期望(.625·20+.375·0)/1.05与复制相同。真实上涨概率.3不改变复制支付或成本；若两状态/融资等假设变了则另算。

44-E07

自融资收益方程$dV=\Delta(dS+qSdt)+r(V-\Delta S)dt$，把$\Delta=V_S$代入。与§6.7的Itô展开匹配，消去两边$\mu SV_S$，得到含q的PDE。恒等式V=ΔS+A并不允许把dV写成只有ΔdS而漏掉现金或把SdΔ当外部财富；自融资要求股票再平衡由现金账户同时转移，收益方程才是复制条件。call终值$(S-K)^+$，put$(K-S)^+$，S>0内、τ>0、σ>0使用随机PDE；终值折点按支付处理。无费、连续交易、同率融资、可容许策略等模型条件列于§5.4。

44-E08

Q下$\log(S_T/S)=(r-q-\sigma^2/2)\tau+\sigma\sqrt\tau Z$，行权条件$Z>-d2$，所以$Q(S_T>K)=\Phi(d2)$。截断股票期望完成正态平方配方后，指数权重把阈值从−d2平移σ√τ，给$Se^{(r-q)\tau}\Phi(d1)$，d1=d2+σ√τ。分别贴现这两项得到call；put-call差$Se^{-q\tau}-Ke^{-r\tau}$可由支付差$S_T-K$直接得。对于本章正S、常系数GBM、有限T、call/put线性增长终值和τ>0的$C^{1,2}$解，Itô与可积鞅条件连接PDE和Q条件期望；未声明任意不规则系数/支付无条件成立。P漂移一般保留风险溢价，不能替换Q定价任务。

44-E09

Delta=$\frac{dV}{dS}$（股/份），Gamma=$\frac{d^2V}{dS^2}$（每单位S的Delta变化），Vega=$\frac{dV}{d\sigma}$（货币/单位年化波动参数），Theta=$\frac{dV}{dt}=-\frac{dV}{d\tau}$（货币/年），Rho=$\frac{dV}{dr}$（货币/单位连续年率）。解析式与推导在§6的Greeks小节，两种期权Gamma/Vega相同，$\Delta_{\mathrm{call}}-\Delta_{\mathrm{put}}=e^{-q\tau}$，Theta与Rho含q和r项符号需随call/put支付区别。Δσ=.01用.01·Vega近似金额，不是整个Vega。到期S=K的call左右Delta分别0与1，无普通唯一值；API全部T=0/σ=0 Greeks拒绝是明确实现域，非宣称所有非折点导数都不存在。中心差分相减接近数会放大舍入；Gamma再除$h_S^2$，过小步长尤其敏感。