实用组合构建（Practical Portfolio Construction）

先修：第 9 章凸二次规划与KKT条件、第 15 章多因子风险模型、第 18 章波动率估计、第 20 章现代组合理论与无约束均值方差切点解析式。 完成本章后，你能：用训练窗口 Ledoit–Wolf 收缩估计协方差，检查条件正定与样本外风险误差；将非凹的长仓最大 Sharpe 比率优化精确等价转化为凸二次规划（Convex QP）；求解等风险贡献（Equal Risk Contribution, ERC）组合；使用 Black–Litterman 模型融合市场均衡与主观观点；推导 Kelly 准则对数增长率并说明折减约束；计算资产漂移与交易换手成本；在扣除成本后客观评测组合样本外表现。

1. 本章目标

完成本章学习后，你应能：

1. 计算样本均值与协方差的估计误差，定量解释为什么期望收益的不确定性比协方差矩阵对优化权重具有更强的破坏性；
2. 推导 Ledoit–Wolf（2004）向缩放单位阵收缩的最优强度，并用训练窗数据计算样本外正定协方差矩阵；
3. 计算买卖双边再平衡换手率、持仓漂移权重及交易摩擦成本拖累，建立毛收益与扣费后净收益的核算台账；
4. 区分美元中性、Beta 中性与行业中性，说明互斥且穷尽的绝对行业中性如何推出美元中性、为何一般不能推出Beta中性，并解释欧氏投影只优化权重距离；
5. 推导组合波动率的 Euler 分解，计算边际风险贡献与相对风险份额，使用带有 Newton 减量停止准则的阻尼 Newton 法求解 ERC 权重；
6. 复述第 9 章已证明的长仓最大 Sharpe 变量代换（化为凸二次规划），并实现带上限可行性预检的求解流程；
7. 推导 Black–Litterman 模型的反向优化先验、分块高斯后验均值与后验均值协方差，验证观点正交倾斜性质；
8. 推导 Kelly 准则的二元对数增长最优解与离散二阶展开与扩散极限二次代理，分析全额 Kelly 的尾部破产机制与半 Kelly 风险收益权衡；
9. 结合多因子风险模型完成组合方差与波动率的因子/特异风险贡献分解；
10. 基于 French 10 行业历史快照和 Project 3 的 440 个月滚动回测，客观评价各组合策略在当前修订历史快照上的成本后滚动样本外表现与统计不确定性，不将其视为PIT可交易证据。

本章完成条件：能独立复现所有数值算例并通过代码断言，理解全部模型的前提假设与失效边界，完成第 15 至 17 节的所有练习题，并在第 18 节核对完整推导与代码。

2. 为什么 Quant 需要实用组合构建

在第 20 章的均值方差理论（Modern Portfolio Theory, MPT）中，切点组合权重由解析式 $\mathbf{w}^* \propto \Sigma^{-1}\boldsymbol{\mu}_{excess}$ 给出。然而在量化投资实盘中，直接将历史样本均值 $\hat{\boldsymbol{\mu}}$ 和样本协方差矩阵 $S$ 代入该解析式（即插件估计量，plug-in estimator），通常得到极端且不稳定的权重。

这一失败源于三个无法回避的实务挑战： 首先，参数估计误差被求逆过程急剧放大。金融时间序列充斥着低信噪比噪声。期望收益的年化估计标准差通常与均值本身处于同一数量级，而高维协方差矩阵的最小特征值往往极度接近于零。当对带有噪声的矩阵求逆时，极小特征值对应的特征向量方向被急剧放大，使得优化器在样本内噪声最大的方向上建立巨大的多空杠杆。这一现象在量化界被称为“误差放大器（error maximizer）”。 其次，理论切点组合缺乏对现实交易摩擦与约束的建模。理论解析式假设可以无限制卖空、无融资借贷利率惩罚、无流动性冲击和交易佣金。然而在实际机构投资中，投资经理受到严格的长仓限制（long-only）、单资产权重上限（position limits）、行业与市场风险暴露预算，以及由资金换手引发的滑点磨损。若忽略这些现实边界，账面上看似优异的策略收益将在每个月的再平衡成本中被侵蚀殆尽。 最后，分散化的定义在实践中存在重大混淆。名义上的资产等权配置并不等同于风险上的分散。如果一个组合中包含高波动资产，其组合总风险的大部分将被少数资产主导。同样，声称“市场中性”的多空组合，若仅满足资金美元中性，依然可能承担巨大的系统性市场 Beta 暴露或行业倾斜风险。

实用组合构建的目标，正是运用数学上严谨的收缩估计（shrinkage estimation）、凸优化变换（convex QP transformation）、风险预算（risk budgeting）与贝叶斯先验约束，将充满噪声的预测信号转化为样本外可执行、风险可控且具备抗摩擦能力的真实持仓。

3. 直觉：从样本噪声到可执行持仓

为了理解无约束优化的脆弱性，我们先考察一个极简直觉实验： 设市场上有两个资产，真实月度超额收益均为 $1.0\%$，月度波动率均为 $4.0\%$，两者相关系数为 $0.7$（教学构造）。由于两资产完全对称，真实最优切点组合显然是各持 $50\%$。 现在，研究者使用过去 60 个月的历史数据进行样本估计。在抽样波动下，资产 1 的样本均值偶然偏高，测得 $1.3\%$；而资产 2 的样本均值偶然偏低，测得 $0.7\%$。这一微小的 $0.3\%$ 抽样扰动属于完全正常的抽样误差（标准误约 $4.0\% / \sqrt{60} \approx 0.52\%$）。 把这两个估计值代入 $\Sigma^{-1}\boldsymbol{\mu}_{excess}$：两资产波动相同，$\Sigma^{-1}$ 正比于 $\begin{bmatrix}1&-0.7\\-0.7&1\end{bmatrix}$，方向正比于 $(1.3-0.7\times0.7,\ 0.7-0.7\times1.3)=(0.81,-0.21)$，归一化后权重约为 $(135\%,-35\%)$，而真实最优是 $(50\%,50\%)$。按真实参数评价：两组合的期望超额收益都是 1.0%/月，但 $(135\%,-35\%)$ 的月波动是 $4\%\times\sqrt{1.35^2+0.35^2-2(0.7)(1.35)(0.35)}=4.53\%$，等权是 $4\%\times\sqrt{0.85}=3.69\%$；月度 Sharpe 从 0.271 降到 0.221。相关性越高，同样大小的均值误差被放大得越厉害（$\rho=0.5$ 时权重约为 $(95\%,5\%)$）。

这个极简案例揭示了实用组合构建的核心逻辑：

1. 收缩是控制协方差病态的护栏：样本协方差在样本量有限时极端特征值过度发散。通过向结构化目标（如对角阵或因子模型）按理论最优比例“收缩”，可以压制微小特征值，避免逆矩阵将局部噪声放大为极端头寸。
2. 约束是防御均值估计灾难的第一道防线：长仓约束（不允许卖空）在数学上截断了负权重的无限放大机制。虽然长仓约束使得解析式失效，但它把优化限制在概率单纯形（simplex）内，有效阻止了极端对冲头寸的形成。
3. 风险平价（Risk Parity）绕开了对不可靠期望收益的依赖：当期望收益完全无法精准估计时，退而求其次，用协方差矩阵构建“所有资产对总风险贡献相等”的投资组合，可避开均值估计这一个误差来源；它仍依赖风险模型，收益与风险是否改善要在样本外比较。
4. 摩擦成本决定了最优换手边界：每个月价格波动会导致资产市值比例自然偏离目标（此即漂移）。如果每个月都强行将组合微调回精确目标，换手带来的手续费和冲击成本将迅速积累。必须在偏离跟踪误差与换手摩擦之间寻求平衡。

估计误差模拟与策略分布对比

• 横轴：各策略估计权重代入真实总体后实现的年化总体 Sharpe 比率（已乘 $\sqrt{12}$）；
• 纵轴：6 种对比策略（plug-in tangency、GMV sample、GMV Ledoit-Wolf、long-only max Sharpe (LW)、ERC (LW)、1/N）；
• 单位：无量纲 Sharpe 比率；
• 样本与环境：将全样本 French 10 行业月度一阶矩与二阶矩作为固定“伪总体（pseudo-population）”，随机种子 20261021，进行 500 次独立高斯蒙特卡洛抽样，每次样本长度为 60 个月（代表 5 年滚动窗口）；
• 读法与观察点：
  1. 理论最大真实切点 Sharpe 比率由红竖线标出（年化约 $0.6262$）；
  2. 无约束插件切点组合（plug-in tangency）表现最差，其年化 Sharpe 中位数仅 $0.2812$，10% 分位数约 $0.079$（图中须线为 5%–95% 分位）；更有 57 次抽样因分母非正直接崩溃，图中分布已剔除了这 57 次失败案例，因此该箱线图已经显著偏向乐观；long-only max Sharpe (LW) 另有 11 次抽样因训练样本中不存在正超额组合而触发输入不可行（第 12.3 节），同样未计入箱线图；
  3. 引入长仓约束的 long-only max Sharpe（LW）中位数提升至 $0.4859$，有效压缩了估计误差造成的离散度；
  4. 完全不依赖期望收益估计的策略（GMV LW、ERC LW、1/N）表现最为稳健，其中 GMV (LW) 的年化 Sharpe 中位数达 $0.5215$，ERC (LW) 达 $0.5057$，1/N 稳定在 $0.4983$；
• 局限性：本图展示的是纯粹的抽样误差统计模拟，所有资产回报严格服从高斯分布，未引入真实市场的跳跃、肥尾与结构突变。

4. 数学基础与符号约定

在深入推导前，统一全章的符号系统、矩阵维度与度量单位：

• 资产数量与样本期数：资产数量记为 $n$（或在截面维度记为 $p$），历史训练窗口期数记为 $T$。

• 收益率向量：$t$ 期单期简单收益率向量记为 $\mathbf{r}_t = (r_{1,t}, \dots, r_{n,t})^\top \in \mathbb{R}^n$。本章默认采用月度小数收益率（decimal return per month）；明确标注的年化教学例为例外，不能混入月度实证输入，例如月收益 $1\%$ 记作 $0.01$。

• 期望超额收益向量：$\boldsymbol{\mu}_{excess} = \boldsymbol{\mu} - r_f \mathbf{1} \in \mathbb{R}^n$，其中 $\boldsymbol{\mu} = E[\mathbf{r}]$，$r_f$ 为无风险利率，$\mathbf{1} = (1, \dots, 1)^\top$ 为全 1 向量。

• 协方差矩阵：$\Sigma \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 为单期收益率协方差矩阵，满足对称半正定（PSD）。若要求可逆，则为严格正定矩阵（PD），记作 $\Sigma \succ 0$。

• 持仓权重向量：$\mathbf{w} = (w_1, \dots, w_n)^\top \in \mathbb{R}^n$。$w_i$ 表示资产 $i$ 占投资组合净资产值（Net Asset Value, NAV）的比例。全额投资（fully invested）意味着 $\mathbf{1}^\top \mathbf{w} = 1$。长仓约束（long-only）意味着 $\mathbf{w} \ge \mathbf{0}$。

• 矩阵 Frobenius 范数约定：本章遵循 Ledoit & Wolf（2004）文献规范，对 $p \times p$ 矩阵 $A$，其 Frobenius 范数归一化除以维度 $p$：

  $$\|A\|^2 = \frac{1}{p}\operatorname{tr}(AA^\top) = \frac{1}{p}\sum_{i=1}^p \sum_{j=1}^p a_{ij}^2,$$

  矩阵内积定义为 $\langle A, B \rangle = \frac{1}{p}\operatorname{tr}(AB^\top)$。若不加特别说明，范数记号 $\|\cdot\|$ 均指该归一化范数。

• 时间与信息集时点：严守因果性。理想化月边界测试中，若在 $t-1$ 月末做出调仓决策并在该时刻成交，所允许使用的历史训练窗口严格限定在 $[t-W, t-1]$（当考虑 1 个月数据发布滞后时，限定在 $[t-W-1, t-2]$）。$t$ 月当期的收益率 $\mathbf{r}_t$ 在月末前绝不可知。同月末完成收益观测、计算和成交不是实际可得性保证；真实系统须记录接收时点和下一可成交时点。

5. 正式定义：估计误差、中性约束与风险预算

5.1 均值估计误差与协方差病态性

设资产收益率服从独立同分布，真实均值为 $\boldsymbol{\mu}$，真实协方差为 $\Sigma$。 样本均值估计量为 $\hat{\boldsymbol{\mu}} = \frac{1}{T}\sum_{t=1}^T \mathbf{r}_t$，其估计误差的标准差为：

若某资产月度波动率为 $\sigma = 4\%$（年化约 $13.86\%$），在 $T = 120$ 个月（10 年历史）的样本下，其月均值的标准误为：

对一个假想股票，若研究者假设年化超额收益仅为 $5\% \sim 8\%$（教学假设，不是本章验证的市场统计），这意味着长达 10 年的数据积累，仍无法将期望收益的置信区间收窄到判断正负号的稳健水平。

样本协方差矩阵（去均值，除数为 $T$）定义为：

Ledoit 与 Wolf（2004）§2.2 式（12）把 Lemma 2.1 改写为特征值形式：样本特征值围绕其共同均值的离散度，在期望上等于真实特征值的离散度加上 $E\lVert S-\Sigma\rVert^2$。该式说明总体意义上的特征值离散度受估计噪声膨胀，不能逐样本保证每个最大/最小特征值都向固定方向偏离，$p/T$ 越大偏差越明显。当 $p > T$ 时，$S$ 甚至发生秩亏损（rank-deficient），至少 $p-T+1$ 个特征值在精确算术下为零（去均值后秩最多 $T-1$），导致样本逆矩阵 $S^{-1}$ 不存在；这不代表总体 $\Sigma$ 奇异。

5.2 三种投资组合中性定义

量化投资中常追求消除特定宏观或系统性风险暴露，常见的“中性（neutrality）”概念包括：

1. 美元中性（Dollar Neutrality / Capital Neutrality）：

   $$\mathbf{1}^\top \mathbf{w} = \sum_{i=1}^n w_i = 0.$$

   多头市值总和与空头市值总和完全相等，净资金暴露（Net Exposure）为 0。

2. Beta 中性（Beta Neutrality）：
   设各资产相对于基准指数（如标普 500）的回归斜率为 $\boldsymbol{\beta} = (\beta_1, \dots, \beta_n)^\top \in \mathbb{R}^n$，组合满足：

   $$\boldsymbol{\beta}^\top \mathbf{w} = \sum_{i=1}^n w_i \beta_i = 0.$$

   组合在边际上不受市场整体基准收益波动的直接线性冲击。

3. 行业中性（Sector Neutrality）：
   设市场划分为 $K$ 个互斥行业，记 $I_k$ 为行业 $k$ 的资产下标集合。行业中性要求每个行业的净持仓均为零：

   $$\sum_{i \in I_k} w_i = 0, \quad \forall k \in \{1, \dots, K\}.$$

这三种条件不同，但不彼此独立。若互斥行业集合覆盖全部资产，则逐行业求和给出

因此，本章的绝对行业中性必然推出美元中性，却一般不保证 Beta 中性；美元中性一般不保证行业或 Beta 中性，Beta 中性一般也不保证另两者。例如同一行业内权重 $(0.5,-0.5)$、Beta $(1.5,0.5)$，行业净权重为零、美元净权重为零，但 Beta 暴露为 $0.5$。反过来，权重 $(0.5,-1.0)$、Beta $(1,0.5)$ 的 Beta 为零，净权重却为 $-0.5$。若“行业中性”指相对一个满仓基准 $\mathbf w_b$ 的主动权重约束 $Z(\mathbf w-\mathbf w_b)=0$，它推出的是 $\sum_iw_i=\sum_iw_{b,i}$，而非绝对净权重为零。$Z$ 为逐行业0/1指示行组成的 $K\times n$ 矩阵；这与本节绝对中性须区分。

5.3 风险贡献与 Euler 分解

投资组合的总波动率函数为 $\sigma(\mathbf{w}) = \sqrt{\mathbf{w}^\top \Sigma \mathbf{w}}$。 由于对任意正标量 $a > 0$，满足 $\sigma(a\mathbf{w}) = a\sigma(\mathbf{w})$，因此组合波动率是持仓权重 $\mathbf{w}$ 的一阶齐次函数（homogeneous of degree 1）。

以下求导和风险份额要求 $\sigma(\mathbf w)>0$，$\Sigma$ 对称半正定。根据 Euler 齐次函数定理（Euler's Theorem for Homogeneous Functions）：

由此引出风险贡献体系的三项核心定义：

• 边际风险贡献（Marginal Risk Contribution, MRC）：

  $$\operatorname{MRC}_i = \frac{\partial \sigma(\mathbf{w})}{\partial w_i} = \frac{(\Sigma \mathbf{w})_i}{\sqrt{\mathbf{w}^\top \Sigma \mathbf{w}}} = \frac{(\Sigma \mathbf{w})_i}{\sigma(\mathbf{w})}.$$

  $\operatorname{MRC}_i$ 的物理意义是：当资产 $i$ 的权重增加一个微小单位时，组合总波动率的变化率。其单位与资产收益率波动率相同（每月小数）。这是保持其他坐标不变的偏导；若增加资产i必须卖出资产j以保持预算，沿自融资方向的变化率是MRC_i−MRC_j，不能只读作MRC_i。

• 绝对风险贡献（Risk Contribution, RC）：

  $$\operatorname{RC}_i = w_i \operatorname{MRC}_i = \frac{w_i (\Sigma \mathbf{w})_i}{\sigma(\mathbf{w})}.$$

  由 Euler 定理，所有资产的绝对风险贡献之和严格等于组合总波动率：$\sum_{i=1}^n \operatorname{RC}_i = \sigma(\mathbf{w})$。

• 相对风险份额（Risk Fraction / Relative Risk Contribution）：

  $$p_i = \frac{\operatorname{RC}_i}{\sigma(\mathbf{w})} = \frac{w_i (\Sigma \mathbf{w})_i}{\mathbf{w}^\top \Sigma \mathbf{w}}.$$

  相对风险份额无量纲，且满足加总条件：$\sum_{i=1}^n p_i = 1$。它不是概率：当权重与边际风险贡献异号时，$p_i$ 可以为负数，表示该头寸在当前组合中抵消部分风险。长仓也可能有负风险贡献；空头与负边际贡献相乘则是正贡献。

5.4 等风险贡献组合（Equal Risk Contribution, ERC）

等风险贡献组合（ERC）要求在长仓全额投资单纯形上，所有资产对组合总波动率的绝对贡献完全均等：

即每个资产承担恰好 $1/n$ 的相对风险份额：$p_i = 1/n$。

先核对两资产，而非直接背ERC公式。 年化小数教学构造：$\sigma_1=0.2,\sigma_2=0.3,\rho=0.2$，故

令两项风险贡献相等，先乘掉同一正分母 $\sigma_p$：

结合 $w_1+w_2=1$，得 $(w_1,w_2)=(0.6,0.4)$。把它代回风险计算：

波动为18.59%，两项风险份额各50%，但资金份额是60%和40%。两资产交叉项相消，因此正波动、$\rho\in(-1,1)$ 下ERC权重与相关系数无关；相关仍改变总波动。三资产以上没有这样的逐项抵消，不能普遍用逆波动权重代替ERC。

横轴为两项资产，纵轴为份额（%）；资金柱为60%/40%，风险柱为50%/50%。这张图只核对上述年化构造，不表示ERC收益较高。第6.3节将说明怎样在一般协方差矩阵下求指定风险预算。

6. 核心推导：收缩、凸QP变换与风险分解

6.1 Ledoit–Wolf 线性收缩估计量推导

Ledoit & Wolf（2004）寻求线性组合 $\Sigma^* = \rho_1 I + \rho_2 S$。理论推导中收缩目标是 $\mu I$，$\mu = \langle \Sigma, I \rangle = \frac{1}{p}\operatorname{tr}(\Sigma)$ 是真实特征值的平均；可行估计量再用样本对应 $m = \langle S, I \rangle$ 代替 $\mu$。 设真实未知的协方差矩阵为 $\Sigma$。理论目标是在归一化 Frobenius 范数下，最小化期望二次损失：

根据正交分解与期望展开： 定义三个关键几何距离参数；本小节的$\delta^2$只表示收缩总偏离度，不是第6.4节风险厌恶系数$\delta$的平方：

1. 样本协方差与目标的期望距离平方：$\delta^2 = E\left[ \|S - \mu I\|^2 \right]$；
2. 真实协方差与目标的距离平方：$\alpha^2 = \|\Sigma - \mu I\|^2$；
3. 样本协方差对真实协方差的估计误差期望：$\beta^2 = E\left[ \|S - \Sigma\|^2 \right]$。

先在理论基准 $E[S]=\Sigma$ 下推导：可以证明，勾股定理结构在期望意义下成立。已知真实均值时，中心化外积均值满足此条件；实际用样本均值去中心、除数为 $T$ 的矩阵在有限样本下有 $E[S]=(T-1)\Sigma/T$，不能把下式不加条件地当作有限样本恒等式。实际收缩估计采用渐近构造：

Lemma 2.1 的证明只用到 $E[S]=\Sigma$：展开 $E\lVert S-\Sigma+\Sigma-\mu I\rVert^2$ 时交叉项 $2\langle E[S-\Sigma],\,\Sigma-\mu I\rangle=0$。将 $\Sigma^*$ 改写为凸组合形式 $\Sigma^* = \kappa (\mu I) + (1 - \kappa) S$（原文先证明最优目标尺度恰为 $\mu$），代入二次损失目标：

对期望展开并利用交叉项在一阶矩下的无偏正交性，得到关于收缩强度 $\kappa$ 的抛物线方程：

对 $\kappa$ 求导并令导数为 0：

因此，理论最优收缩强度恰好等于估计误差方差占总离散度的比例 $\beta^2/\delta^2$。 在实际不可知总体矩 $\Sigma$ 的情形下，Ledoit & Wolf 构造了渐近无偏的可行估计量（sample counter-parts）：

• 目标缩放尺度估计：$m = \frac{1}{p}\operatorname{tr}(S)$；

• 样本总偏离度估计：$d^2 = \|S - mI\|^2 = \frac{1}{p}\sum_{i=1}^p \sum_{j=1}^p (s_{ij} - m\delta_{ij})^2$；

• 估计误差渐近无偏估计量： 设去均值样本矩阵各行为 $\mathbf{x}_t \in \mathbb{R}^p$，每期外积阵为 $\mathbf{x}_t \mathbf{x}_t^\top$。$S$ 是这 $T$ 个外积阵的平均，平均值的误差方差约为单个外积阵离散度的 $1/T$，所以原文 Lemma 3.4 用 $\bar b^2=\frac{1}{T^2}\sum_t\lVert\mathbf{x}_t\mathbf{x}_t^\top-S\rVert^2$ 估计 $\beta^2$。利用 $\sum_t\mathbf{x}_t^\top S\mathbf{x}_t=T\lVert S\rVert_F^2$，展开得到：

  $$\bar{b}^2 = \frac{1}{T^2 p}\left( \sum_{t=1}^T \|\mathbf{x}_t\|_2^4 - T \sum_{i=1}^p \sum_{j=1}^p s_{ij}^2 \right);$$

• 截断收缩强度：$b^2 = \min(\max(\bar{b}^2, 0), d^2)$，由此可行收缩强度为：

  $$\hat{\kappa} = \frac{b^2}{d^2} \in [0, 1].$$

最终可得半正定的可行收缩估计量，严格正定需要下述条件：

由于目标阵 $mI$ 严格正定（只要资产至少有一个具有非零方差），当 $\hat{\kappa} > 0$ 时，即便 $T < p$ 导致 $S$ 秩亏，收缩后的 $S^*$ 最小特征值亦严格大于 0，保证数值可逆。

6.2 长仓最大 Sharpe 比率的凸二次规划等价变换

最大化投资组合 Sharpe 比率的原始长仓优化问题为：

目标是比值，不是凹函数，不能按凸优化建模规则（Disciplined Convex Programming, DCP）直接交给 CVXPY。第 9 章第 7 节与 9-C01 已经证明下面的变量代换及其条件；这里按本章实现复述一遍，Lesniewski（Baruch MFE 讲义 Lecture 5）给出同一变换。

证明过程： 以下讨论有限Sharpe，要求正超额收益可行组合均具有正方差；$\Sigma\succ0$ 是简单充分条件。若存在正收益零风险方向，Sharpe分母为零、QP目标可能为零，这是模型退化或无限Sharpe情形，不能作为普通有限最优解。

先区分三个门槛。预算可行要求 $nw_{\max}\ge1$；正超额可行要求上限内 $\max_w\mu_{excess}^\top w>0$；有限Sharpe还要求所比较组合风险分母非零。$\Sigma\succ0$ 对非零权重保证最后一点；若仅半正定且有可行 $w$ 同时满足 $w^\top\Sigma w=0$、$\mu_{excess}^\top w>0$，它是零风险正超额边界，普通有限Sharpe未定义，QP最优值0不能解释为有限最大Sharpe。奇异矩阵未必遇到此边界，但必须明确检查风险域；Project3本实现要求数值正定输入，不另造零风险策略。

假设可行域内至少存在一个组合具有严格正的期望超额收益，即 $\max_{\mathbf{w}} \boldsymbol{\mu}_{excess}^\top \mathbf{w} > 0$。 令标量变换因子：

并定义缩放权重向量：

由于 $\mathbf{w} \ge \mathbf{0}$ 且 $\kappa > 0$，显然有 $\mathbf{y} \ge \mathbf{0}$。 考察约束条件的代数映射：

1. 期望超额收益归一化：

   $$\boldsymbol{\mu}_{excess}^\top \mathbf{y} = \kappa (\boldsymbol{\mu}_{excess}^\top \mathbf{w}) = 1;$$

2. 投资比例约束：

   $$\mathbf{1}^\top \mathbf{y} = \kappa (\mathbf{1}^\top \mathbf{w}) = \kappa;$$

3. 上限约束：

   $$w_i \le w_{\max} \iff y_i \le w_{\max} \kappa.$$

考察目标函数的倒数平方：

因此，最大化 Sharpe 比率等价于最小化其平方倒数：

受制于线性约束：

$\Sigma \succeq 0$ 时 $\mathbf{y}^\top \Sigma \mathbf{y}$ 是凸函数，$\Sigma\succ0$ 时严格凸、解唯一；约束全部是仿射等式与不等式，所以这是凸二次规划。$\kappa>0$ 不必作为严格不等式交给求解器：$\boldsymbol{\mu}_{excess}^\top\mathbf{y}=1$ 迫使 $\mathbf{y}\ne\mathbf{0}$，又 $\mathbf{y}\ge\mathbf{0}$，故 $\kappa=\mathbf{1}^\top\mathbf{y}>0$。反向映射 $\mathbf{w}=\mathbf{y}/\kappa$ 把任一可行 $(\mathbf{y},\kappa)$ 送回一个超额均值为正的可行组合，两个问题的可行解一一对应，目标值互为 $1/\operatorname{SR}^2$。 在求解得到最优解 $(\mathbf{y}^*, \kappa^*)$ 后，原问题的最优投资组合权重可通过逆变换直接还原：

证毕。

6.3 风险预算（ERC）的凸对数障碍规划与阻尼 Newton 算法

Maillard、Roncalli 与 Teiletche（2009）§3.4 把 ERC 写成带约束 $\sum_i\ln x_i\ge c$ 的最小波动问题。下面的无约束对数障碍形式与之对应（把该约束的乘子并入目标），推导与实现由本章给出： 考虑对数障碍函数：

其中 $b_i > 0$ 为预设的风险预算权重，满足 $\sum b_i = 1$（对于 ERC，$b_i = 1/n$）。 该目标函数的梯度向量为：

Hessian 矩阵为：

只要 $\Sigma \succeq 0$ 且 $b_i > 0$，对角项严格为正，$\nabla^2 f(\mathbf{y}) \succ 0$，目标在 $\mathbf{y}>\mathbf{0}$ 上严格凸，极小点若存在则唯一。存在性可以由 $\Sigma\succ0$ 保证，但这不是必要条件。例如 $\Sigma=\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}$、$b_1=b_2=1/2$ 虽然奇异，仍有唯一极小点 $\mathbf y=(1/2,1/2)^\top$，归一化后是等权。关键危险是非负零风险方向：若有非零 $\mathbf{v}\ge\mathbf{0}$ 使 $\mathbf{v}^\top\Sigma\mathbf{v}=0$，沿 $\mathbf y=\mathbf y_0+t\mathbf v$，其中 $\mathbf y_0>0$、$t\to\infty$，半正定矩阵满足 $\Sigma\mathbf v=0$，所以二次项恒定，而至少一个对数项趋向负无穷，没有极小值。核心函数因此要求数值正定的协方差。 在一阶最优性条件处，梯度为零：

由于方差贡献 $y_i(\Sigma\mathbf y)_i$ 是 $\mathbf{y}$ 的二阶齐次函数（波动贡献 $y_i(\Sigma\mathbf y)_i/\sigma(\mathbf y)$ 则是一阶齐次），将 $\mathbf{y}^*$ 进行单纯形归一化：

归一化不改变各资产风险贡献的相对比例：

还需核对分母。令 $s=\sum_j y_j^*$，对一阶条件逐项求和得 $\mathbf y^{*\top}\Sigma\mathbf y^*=\sum_i b_i=1$。于是

这一步证明风险预算比例，而不是预算金额。上面的两资产例中取 $\mathbf y=(0.6,0.4)^\top/\sqrt{0.03456}$，则二次型为1、每项贡献为0.5，再归一化回原权重。求解器找到极小点、算法达到停止阈值、预算残差足够小和策略值得交易，是四项不同判断。

阻尼 Newton 算法与停止准则：

1. 初始点：取对角阵逆标准差点 $\mathbf{y}^{(0)} = (1/\sqrt{\Sigma_{11}}, \dots, 1/\sqrt{\Sigma_{nn}})^\top$，并归一化使得 $\mathbf{y}^\top \Sigma \mathbf{y} = 1$；

2. 计算 Newton 方向：$\Delta \mathbf{y} = -[\nabla^2 f(\mathbf{y})]^{-1}\nabla f(\mathbf{y})$；

3. 计算 Newton 减量（Newton decrement, Boyd & Vandenberghe §9.5）：

   $$\lambda^2 = -\nabla f(\mathbf{y})^\top \Delta \mathbf{y}.$$

   $\lambda^2/2$ 是用二次模型估计的 $f(\mathbf{y}) - f^*$（Boyd–Vandenberghe §9.5.1），不是一般情形下的严格上界。当 $\lambda^2 \le 10^{-14}$ 时终止迭代，随后核对风险份额偏差。

4. 回溯线搜索（Backtracking Line Search）：使用 Armijo 条件确定步长 $\alpha \in (0, 1]$，确保新迭代点保持在可行域 $\mathbf{y} + \alpha \Delta \mathbf{y} > \mathbf{0}$ 内。

6.4 Black–Litterman 模型的贝叶斯推导与增益形式

Black–Litterman 模型把市场均衡隐含收益与投资者观点合成一个期望收益向量。Black 与 Litterman（1992）原文本章未取得；以下设定与公式依据 He 与 Litterman（1999）Appendix B。

1. 反向优化（Reverse Optimization）确定先验： 假设全市场投资者整体持有市场投资组合 $\mathbf{w}_{mkt}$。由均值方差一阶最优条件，市场均衡期望收益率向量 $\boldsymbol{\Pi}$ 必满足：

   $$\boldsymbol{\Pi} = \delta \Sigma \mathbf{w}_{mkt},$$

   其中 $\delta$ 为全市场的综合风险厌恶系数（He & Litterman 1999 常用标定值 $\delta = 2.5$）。

2. 先验分布： 将期望收益向量本身视为随机变量，服从以均衡收益为中心的先验正态分布：

   $$\boldsymbol{\mu} \sim N(\boldsymbol{\Pi}, \tau \Sigma),$$

   其中标量 $\tau > 0$ 反映先验分布方差相对于收益实际方差的置信缩放比。这里所有收益是同频率的期望超额收益；若写总收益，须另加同期间现金收益。

3. 观点体系（Views）： 投资者持有 $k$ 个线性观点，矩阵表达为：

   $$P \boldsymbol{\mu} = \mathbf{Q} + \boldsymbol{\varepsilon}, \quad \boldsymbol{\varepsilon} \sim N(\mathbf{0}, \Omega),$$

   其中 $P \in \mathbb{R}^{k \times n}$ 为观点选择矩阵，$\mathbf{Q} \in \mathbb{R}^k$ 为观点收益向量，$\Omega \in \mathbb{R}^{k \times k}$ 为观点误差协方差矩阵；He–Litterman 假设观点误差与先验期望收益误差独立，且不同观点误差相互独立，所以通常取对角；本章高斯分块协方差推导也需要前一项独立假设。

4. 后验分布推导（分块正态条件更新）： $\boldsymbol{\mu}$ 与观点观测值 $\mathbf{v} = P\boldsymbol{\mu} + \boldsymbol{\varepsilon}$ 的联合分布为：

   $$\begin{bmatrix} \boldsymbol{\mu} \\ \mathbf{v} \end{bmatrix} \sim N\left( \begin{bmatrix} \boldsymbol{\Pi} \\ P\boldsymbol{\Pi} \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} \tau \Sigma & \tau \Sigma P^\top \\ P \tau \Sigma & P \tau \Sigma P^\top + \Omega \end{bmatrix} \right).$$

   应用条件正态分布公式，后验期望收益率均值 $\boldsymbol{\mu}_{BL}$ 与后验均值协方差 $V_{BL}$ 为：

   $$\boldsymbol{\mu}_{BL} = \boldsymbol{\Pi} + \tau \Sigma P^\top (P \tau \Sigma P^\top + \Omega)^{-1}(\mathbf{Q} - P\boldsymbol{\Pi}),$$
   $$V_{BL} = \tau \Sigma - \tau \Sigma P^\top (P \tau \Sigma P^\top + \Omega)^{-1} P \tau \Sigma.$$

   定义 Kalman 形式的增益矩阵 $M = \tau \Sigma P^\top (P \tau \Sigma P^\top + \Omega)^{-1}$，更新式可紧凑表达为：

   $$\boldsymbol{\mu}_{BL} = \boldsymbol{\Pi} + M(\mathbf{Q} - P\boldsymbol{\Pi}).$$

   该增益形式不要求 $\Omega$ 本身可逆，但要求 $S_v=P\tau\Sigma P^\top+\Omega$ 可逆。当 $\Omega=0$、$\Sigma\succ0$、$\tau>0$ 时，须 $P$ 各行线性独立。若把同一个确定观点重复两次，$S_v$ 奇异；若还给两个不同观点值，条件更是相互矛盾。核心显式报错，不能靠求逆或伪逆忽略这个问题。 $V_{BL}$ 衡量未知均值的后验不确定性，不是资产下期收益协方差。若另外建模 $R=\mu+\varepsilon$、$\operatorname{Cov}(\varepsilon)=\Sigma$，且新收益噪声与均值后验独立，则全方差公式给后验预测协方差 $\Sigma+V_{BL}$。下面的持仓倾斜固定使用 $\Sigma$ 作收益风险惩罚，保持原模型接口；若改用预测风险，目标与权重都需重解，不能把两个协方差名称互换。

5. 最优持仓倾斜的正交性质： 将后验均值代入均值方差最优配置：

   $$\mathbf{w}^* = (\delta \Sigma)^{-1}\boldsymbol{\mu}_{BL} = (\delta \Sigma)^{-1}\left[\delta \Sigma \mathbf{w}_{mkt} + \tau \Sigma P^\top (P \tau \Sigma P^\top + \Omega)^{-1}(\mathbf{Q} - P\boldsymbol{\Pi})\right].$$

   展开整理可得：

   $$\mathbf{w}^* = \mathbf{w}_{mkt} + P^\top \left[ \frac{\tau}{\delta}(P \tau \Sigma P^\top + \Omega)^{-1}(\mathbf{Q} - P\boldsymbol{\Pi}) \right] = \mathbf{w}_{mkt} + P^\top \boldsymbol{\lambda}.$$

   此式说明：无约束权重相对市场权重的偏离位于 $P^\top$ 的列空间，即观点组合的线性组合。若 $P$ 的某一列全为零（没有观点涉及该资产），该资产权重保持市场权重；它的后验均值仍可能因相关性改变（第 8.5 节资产 2）。加入长仓、上限等约束后这一性质一般不再成立。

6.5 Kelly 准则与对数增长率推导

Kelly（1956）探讨了使长期财富几何增长率最大化的资金管理法则。 离散二元下注： 设投资者下注比例为 $f \in [0, 1)$。获胜概率为 $p$，净赔率为 $b$（即投入 1 元，赢了净赚 $b$ 元，输了损失 1 元投入）。 单期期望对数增长率为：

对 $f$ 求一阶导数：

令 $g'(f) = 0$：

解得著名的 Kelly 最优下注比例：

若赔率对称（$b = 1$），最优比例简化为 $f^* = 2p - 1$。当 $bp\le 1-p$（期望净收益非正）时，$g'(0)=pb-(1-p)\le0$ 且 $g$ 凹，所有 $f>0$ 都不优于不下注，故 $f^*=\max\{(bp-(1-p))/b,\,0\}$；核心函数 kelly_binary_fraction 按此截断。 记号对照：Kelly（1956）原论文在 Bell System Technical Journal 印刷页 920 中，使用字母 $q$ 代表“信号传输正确（获胜）”的概率，使用 $p$ 代表“传输错误（失败）”的概率，赌注记为 $\ell$。本章遵循现代金融概率约定，以 $p$ 代表胜率、$1-p$ 代表负率、$f$ 代表下注比例。

离散资产配置的二阶展开与二次代理： 对于连续收益资产，设单期超额收益为 $\mathbf{r} - r_f \mathbf{1}$，均值为 $\mathbf{m}$，协方差为 $\Sigma$。 对组合单期收益的对数增长进行二阶泰勒展开：

令 $a=E[r_p]=r_f+\mathbf w^\top\mathbf m$，现金收益 $r_f$ 在这一个持有期确定，故 $E[r_p^2]=\operatorname{Var}(r_p)+a^2=\mathbf w^\top\Sigma\mathbf w+a^2$。对泰勒多项式取期望，完整的离散二阶表达是

不能把 $a^2$ 从二阶项中无解释地删除。例如 $r_p$ 等概率取0.1与0.2，$a=0.15$、方差0.0025，完整二阶均值为0.1375；删去均值平方后会得到0.14875。该多项式近似还需收益集中在对数展开有效区，不能替代破产边界审查。

以下代码采用再忽略漂移平方的局部模型：

这是额外近似。当时间步 $\Delta t$ 中均值是 $O(\Delta t)$、方差是 $O(\Delta t)$ 时，$a^2=O(\Delta t^2)$，才有连续时间扩散极限的理由。固定月频数据没有自动取得此极限；quadratic_log_growth只计算 $g_q$，gaussian_kelly_weights只优化这个明确的代理目标。对完整离散二阶式，梯度是 $(1-a)\mathbf m-\Sigma\mathbf w$，无约束解应为 $(1-r_f)(\Sigma+\mathbf m\mathbf m^\top)^{-1}\mathbf m$，一般不等于 $\Sigma^{-1}\mathbf m$。 对权重向量 $\mathbf{w}$ 求一阶极值：

这里 $\mathbf{w}^*$ 是各风险资产占净值的名义权重，不施加满仓约束；其余 $1-\mathbf{1}^\top\mathbf{w}^*$ 放在无风险资产，为负表示按无风险利率借款（21-E08 中 $w^*=3.2$ 即借入 2.2 倍净值）。 若引入分数 Kelly 缩放参数 $c \in (0, 1]$，令持仓权重为 $\mathbf{w}_c = c \mathbf{w}^*$，则：

• 增长率比例：$g(c\mathbf{w}^*) - r_f = c \mathbf{w}^{*\top}\mathbf{m} - \frac{1}{2}c^2 \mathbf{w}^{*\top}\Sigma \mathbf{w}^* = (2c - c^2)\left[ \frac{1}{2}\mathbf{m}^\top \Sigma^{-1}\mathbf{m} \right]$；

• 收益方差比例：$\operatorname{Var}(c\mathbf{w}^*) = c^2 \operatorname{Var}(\mathbf{w}^*)$。 当采用半 Kelly（Half-Kelly, $c = 0.5$）时：

• 在上述二次代理目标下，超过现金增长基准的部分为全额 Kelly 的 $2(0.5) - 0.5^2 = 75\%$；

• 同一输入协方差下方差为全额 Kelly 的 $0.5^2 = 25\%$！ 在已知矩的二次近似下，半 Kelly 放弃四分之一的增长率，换来四分之三的方差下降。在系数有界、无跳跃、无限连续再平衡且无保证金强平的理想财富随机微分方程中，随机指数可保持财富正值；这不是当前离散月频模型的保证。严格高斯简单收益有无界左尾，任何非零方差仓位都具有 $r_p\le-1$ 的正概率，精确的 $E\ln(1+r_p)$ 不良定义；二次代理仍能输出数字，却不代表合法的精确 Kelly 解。即使标的价格不跌为负，离散持有3.2倍仓位时（现金收益忽略），单期标的跌幅超过31.25%就能耗尽净值。跳跃、保证金和融资限制还会扩大这种模型偏差。估计的 $\mathbf{m}$ 偏高时，“满额 Kelly”实际上已超过真实 Kelly，分数 Kelly 是对这种误差的保护。

Kelly 准则增长率与方差权衡曲线

• 横轴：左图为下注资金比例 $f$（$\%$），右图为 Kelly 乘数 $c$；
• 纵轴：左图为每期期望对数增长率，右图为相对全额 Kelly 的增长率倍数与方差倍数；
• 读法与观察点：
  1. 左图展示 $p = 0.55, b = 1$ 时，对数增长率在 $f^* = 10\%$ 处达到极大值 $0.005008$；当仓位达到两倍 Kelly（$f = 20\%$）时，期望对数增长率转负；在本例IID赌局、持续按比例下注且无限重复的假设下，财富几乎必然趋于零；
  2. 右图展示高斯近似下，半 Kelly（$c = 0.5$ 灰虚线处）实现了 $75\%$ 的理论增长率峰值，而方差仅为全额 Kelly 的 $25\%$；
• 局限性：右图只是已知矩、忽略均值平方项的二次增长代理；75% 指现金基准以上的代理增长。高斯简单收益也有无界左尾，不能保证精确对数效用存在；厚尾、跳跃、融资和保证金约束会进一步改变可承受仓位。

6.6 因子风险分解

第 15 章的因子模型 $\mathbf{r}=B\mathbf{f}+\boldsymbol{\varepsilon}$（$B$ 为 $n\times K$ 载荷，$\operatorname{Cov}(\mathbf{f})=\Sigma_f$，特异协方差 $\Sigma_\varepsilon$ 对角（与第 15 章记号一致；$\Omega$ 在本章留给 Black–Litterman 观点协方差），因子与特异项不相关）给出 $\Sigma=B\Sigma_fB^\top+\Sigma_\varepsilon$。组合暴露 $\boldsymbol{\beta}_p=B^\top\mathbf{w}$（$K\times1$），于是

资产 $i$ 的方差贡献 $w_i(\Sigma\mathbf{w})_i$ 也可拆成因子部分 $w_i(B\Sigma_f\boldsymbol{\beta}_p)_i$ 与特异部分 $w_i^2(\Sigma_\varepsilon)_{ii}$。构造例：单因子，$\boldsymbol{\beta}=(1.1,0.9)$，$\Sigma_f=0.03$，$\Sigma_\varepsilon=\operatorname{diag}(0.02,0.01)$，$\mathbf{w}=(0.5,0.5)$（年化小数）。$\beta_p=1.0$；因子方差 $0.03$，特异方差 $0.25(0.02)+0.25(0.01)=0.0075$，总方差 $0.0375$，波动 19.36%；因子承担 80% 的方差。按资产：资产 1 因子部分 $0.5(1.1)(0.03)(1.0)=0.0165$、特异部分 $0.005$，资产 2 分别为 $0.0135$ 与 $0.0025$，四项合计 $0.0375$；资产 1 的风险份额 57.3%。等权资金并不意味着等风险，因子暴露决定了大部分风险。分解依赖因子模型设定，参数估计误差（载荷、因子协方差）同样会传导到贡献数值。

7. 金融解释：杠杆、成本与分散化幻觉

7.1 杠杆与头寸暴露口径

多空量化策略必须严格区分两套持仓口径：

• 净暴露（Net Exposure）：$\sum_{i=1}^n w_i$。衡量策略的净资金或净市值暴露；市场Beta暴露须另按各权重与对应Beta乘积之和计算。对于市场中性策略，净暴露通常锚定在 0 附近。
• 总暴露（Gross Exposure）：$\sum_{i=1}^n |w_i|$。衡量策略投入市场的总资金杠杆乘数。例如在净暴露为0的前提下，总暴露为 2.0（即 $200\%$），意味着在 1 亿元净资产基础上，持有多头 1 亿元、空头 1 亿元。
• 名义杠杆（Leverage）：当权重已按净资产值归一化时，就是总暴露 $\sum_i|w_i|$，不能再除一次净资产。若输入是金额，则先将多空绝对市值之和除净资产。在资产收益给定且风险持仓按同一比例缩放时，风险持仓的毛收益贡献与线性比例费模型中的费用按该比例缩放；融资、市场冲击和尾部强平风险可能非线性变化，不能保证等比例。

7.2 交易摩擦、持仓漂移与换手拖累

在一个完整的投资周期中，资产权重的变动由两部分构成：价格被动变动带来的“漂移（drift）”与经理主动调仓带来的“换手（turnover）”。 设期初持仓权重为 $\mathbf{w}$（满足 $\sum w_i = 1$），期间各资产实现收益为 $\mathbf{r} = (r_1, \dots, r_n)^\top$。 期末资产 $i$ 的市值相对总组合市值的自然演化权重（即交易前漂移权重，pre-trade drifted weight）为：

若下期目标权重为 $\mathbf{w}^{target}$，则买卖合计的归一化权重换手代理（Weight-Turnover Proxy，不除以2）为：

若单边交易成本率为 $c$（例如 10 个基点，即 $c = 0.0010$），则本期产生的交易成本拖累为 $c \times \operatorname{Turnover}$。 该代理费用在持有期开始时扣除，再用剩余资金配置目标权重，其模型净收益率为：

它不是精确自融资成交金额账本：真实交易金额还取决于扣费后净值，费用比例 $q$ 应联立 $q=c\sum_i|(1-q)w_i^{target}-w_i^+|$。本章/Project3用 $q\approx c\operatorname{Turnover}$ 作低成本近似，未单独收费于为支付费用而追加的调整；详见Project3报告§3。年化平均费用 $12E[q]$ 与年化平均毛净收益差 $12E[q(1+r_{gross})]$ 不同。提高换手会增大费用，但是否抹去优势仍需实际计算，不能从高换手直接断言亏损。

7.3 分散化幻觉与几何投影的破灭

直觉上，组合持有越多资产似乎风险越分散。但如果风险贡献极端不均，投资者便陷入了分散化幻觉（diversification illusion）。 构造例：股票年化波动 16%、债券 5%、相关 0.2，资金 60% 股票、40% 债券。下标 s 表示股票、b 表示债券：$(\Sigma\mathbf{w})_{s}=0.6(0.0256)+0.4(0.2)(0.16)(0.05)=0.016$，$(\Sigma\mathbf{w})_{b}=0.4(0.0025)+0.6(0.0016)=0.00196$，组合方差 $0.6(0.016)+0.4(0.00196)=0.010384$。股票的风险份额 $0.0096/0.010384=92.4\%$：40% 的资金只承担约 7.6% 的风险。

另一类常见的认知误区是试图通过“欧氏空间投影”来满足中性约束。 设原始 Alpha 模型给出了权重 $\mathbf{w}$，但不满足中性约束 $A\mathbf{w} = \mathbf{0}$。若求解无权重的欧氏最近距离投影：

其闭式解为：

这种操作的严重金融缺陷在于：欧氏距离最小化是在没有任何金融维度的纯数学抽象空间进行的。它完全不感知各个资产的波动率高低、相关性强弱和流动性摩擦。约束行彼此相关时，投影可能大幅缩减原有多空权重（第 8.3 节总暴露从 1.6 降到 0.2）。它是否保留了预期收益来源，需要用风险模型和收益预测重新评估；更常见的做法是把中性条件作为约束放进带风险项的优化。

8. 数值算例（Numerical Examples）

本节提供 5 组具有明确输入、逐步手算核对过程与确定单位的基准数值例。

8.1 Ledoit–Wolf 协方差收缩手算例（4×2 矩阵，百分数单位）

8.2 漂移、换手与成本台账手算例

8.2.1 用金额核对精确自融资

8.3 三种中性的蕴含方向与几何投影失效算例

8.4 Maillard–Roncalli–Teiletche（2009）四资产风险预算算例

8.5 Black–Litterman 两资产手算例

9. Python 实现与测试验证

默认独立运行入口

在随书读者包根目录，按包内环境说明建立独立环境后运行：

.venv/bin/python run_notebook.py notebooks/ch21_portfolio_construction.ipynb

默认 RUN_FRENCH=False。Notebook依次核对LW收缩、MRT四资产风险、BL、Kelly、中性约束与漂移，并检查有限Sharpe、ERC存在性、均值后验协方差与二次增长代理等边界。它只创建章节 RUN_DIR，不写CSV或PNG，跳过历史图库；第3、5.4、6.5、8.5和11节图像是已有读物，不能当作本次运行产物。章运行目录与运行器另建的 runs/execution_ch21_portfolio_construction_<uuid>/ 不同，后者保存执行副本与状态。

本章21-E08用月度超额均值0.008、方差0.0025，二次代理权重为3.2；Notebook另用0.006和0.0016，权重为3.75，是不同构造输入。精确二项半Kelly增长比约74.9268%；二次增长代理在其自身最优风险权重的一半处给出75%，不能把该比例当作精确二项增长的一般结论。中性约束按本章第5.2节判断：互斥且穷尽的绝对行业中性推出美元中性，一般不能推出Beta中性。

Project 3的独立入口、构造输出与历史报告分别见项目导读。下方展示共享实现的调用与断言；课程工作根需已安装课程包及其依赖，不能把一个未配置环境的裸Python解释器视作完整读者入口。

共享实现调用

以下代码展示了核心模块 src/quant_course/portfolio_construction.py 的调用方法，并用断言复核第8.1–8.3及8.5节；第8.4节ERC四资产例的完整代码在21-P01答案中。代码需要课程包及相应依赖。

import numpy as np
from quant_course.portfolio_construction import (
    ledoit_wolf_identity, risk_contributions, risk_budget_weights,
    max_sharpe_long_only, black_litterman, he_litterman_view_covariance,
    kelly_binary_fraction, binary_log_growth, gaussian_kelly_weights,
    quadratic_log_growth, exposure_report, project_to_constraints,
    drift_weights, turnover,
)

# 1. Ledoit-Wolf 4x2 百分数矩阵收缩手算复核
x_hand = np.array([[3.0, 2.0], [-1.0, -2.0], [2.0, 3.0], [-4.0, -3.0]])
lw_res = ledoit_wolf_identity(x_hand)
assert np.isclose(lw_res.target_scale, 7.0)
assert np.isclose(lw_res.intensity, 8.0 / 42.5)
np.testing.assert_allclose(lw_res.sample_covariance, [[7.5, 6.5], [6.5, 6.5]], atol=1e-12)
np.testing.assert_allclose(
    lw_res.covariance,
    [[7.40588235, 5.27647059], [5.27647059, 6.59411765]],
    atol=1e-6,
)

# 2. Black-Litterman 两资产手算复核
cov_bl = np.array([[0.04, 0.02], [0.02, 0.09]])
w_mkt = np.array([0.6, 0.4])
p_view = np.array([[1.0, 0.0]])
q_view = np.array([0.10])
tau_param = 0.05
omega_view = he_litterman_view_covariance(p_view, cov_bl, tau=tau_param)
bl_res = black_litterman(
    cov_bl, w_mkt, risk_aversion=2.5, tau=tau_param,
    view_matrix=p_view, view_returns=q_view, view_covariance=omega_view,
)
np.testing.assert_allclose(bl_res.equilibrium_returns, [0.08, 0.12], atol=1e-12)
np.testing.assert_allclose(bl_res.posterior_mean, [0.09, 0.125], atol=1e-12)
np.testing.assert_allclose(bl_res.weights, [0.7, 0.4], atol=1e-12)

# 3. Kelly 对数增长手算复核 (p=0.55, b=1)
f_star = kelly_binary_fraction(0.55, 1.0)
assert np.isclose(f_star, 0.10)
g_full = binary_log_growth(0.10, 0.55, 1.0)
g_half = binary_log_growth(0.05, 0.55, 1.0)
g_double = binary_log_growth(0.20, 0.55, 1.0)
assert np.isclose(g_full, 0.0050083668, atol=1e-6)
assert np.isclose(g_half, 0.0037526078, atol=1e-6)
assert g_double < 0  # 双倍 Kelly：期望对数增长为负，长期财富几乎必然趋于 0

# 4. 中性与投影复核
w_demo = np.array([0.5, 0.3, -0.4, -0.4])
beta_demo = np.array([1.2, 0.8, 1.0, 0.6])
sectors_demo = ["A", "B", "A", "B"]
rep = exposure_report(w_demo, beta_demo, sectors_demo)
assert np.isclose(rep.net, 0.0)
assert np.isclose(rep.beta, 0.2)
a_mat = np.vstack([np.ones(4), beta_demo, [1.0, 0.0, 1.0, 0.0]])
proj_w = project_to_constraints(w_demo, a_mat)
np.testing.assert_allclose(a_mat @ proj_w, 0.0, atol=1e-12)

# 5. 漂移与换手台账复核
w_init = np.array([0.5, 0.5])
r_month = np.array([0.10, -0.10])
w_drift = drift_weights(w_init, r_month)
np.testing.assert_allclose(w_drift, [0.55, 0.45], atol=1e-12)
turnover_val = turnover(w_drift, w_init)
assert np.isclose(turnover_val, 0.10, atol=1e-12)

10. 可视化分析（Visualization）

本节对预先生成的 4 幅核心图表展开多维分析。所有图像均从固定种子与冻结数据生成。

图已随讲解就近放置：第3节估计误差模拟，第6.5节Kelly增长，第8.5节BL观点置信度，第11节French行业风险份额。四图原有输入、轴、单位与局限性均保留；第5.4节的新增两资产图用于区分资金份额与风险份额。

11. 真实市场实证（Real Market Example）

实证采用 Kenneth R. French Data Library 冻结快照数据：

• 资产集合：美股 10 行业市值加权月度收益率（NoDur, Durbl, Manuf, Enrgy, HiTec, Telcm, Shops, Hlth, Utils, Other）及 Fama–French 三因子无风险利率（RF）；
• 样本覆盖期：1926-07 至 2026-08（共 1,202 个日历月）；
• 原始文件哈希：industry_raw_zip SHA-256 为 ebd937a4b995d821867aeb956a96f09a666386f38fa82516b7d1767ee4a49ae5；
• 数据性质声明：French 数据为当前学术修订版本，非实时点（Point-in-Time, PIT）历史快照。月度数据发布有滞后，历史值可能修订，本地 manifest 未保存历史版本。滞后 0 个月的设定属于理想化月边界决策测试。

在 2010-01 至 2019-12 的 120 个月区间内，基于 Ledoit–Wolf 协方差估计量，四种典型策略的具体实测表现记录于 outputs/ch21/ch21_results.json：

数据表明，长仓最小方差组合虽然波动率最低，但付出了持仓极度集中的代价（前两大行业占比超 $70\%$）；ERC 组合在全额投资约束下兼顾了波动率平抑与全市场覆盖度。

French 10 行业历史窗口风险分解面板

• 横轴：French 10 行业代码（NoDur, Durbl, Manuf, Enrgy, HiTec, Telcm, Shops, Hlth, Utils, Other）；
• 纵轴：上图为名义持仓权重百分比（$\%$），下图为相对风险份额百分比（$\%$）；
• 单位：百分比（$\%$）；
• 样本：2010-01 至 2019-12（共 120 个月），基于 Ledoit–Wolf 收缩协方差矩阵；
• 读法与观察点：
  1. 在等权组合（1/N）中，虽然每个行业权重严格为 $10.0\%$，但下图中公用事业（Utils）的风险份额仅 $4.52\%$，而耐用消费品（Durbl）和能源（Enrgy）分别占据了 $15.09\%$ 和 $12.97\%$ 的风险；
  2. 长仓最小方差组合（long-only min var）将权重高度集中在防御型行业（Utils $47.45\%$、NoDur $23.31\%$、Hlth $15.27\%$），其风险份额与权重完全重合；
  3. ERC 组合在下图中各行业风险份额均为 $10.0\%$，为了弥补 Utils 的低波动，ERC 主动将 Utils 的持仓权重提升至 $17.62\%$，同时压低 Durbl 至 $6.41\%$；
  4. 月度波动率对比：最小方差（$2.73\%$）< 最大 Sharpe（$2.88\%$）< ERC（$3.24\%$）< 1/N（$3.51\%$）；
• 局限性：本图仅展示 2010–2019 单一历史窗口的事后静态截面描述，不构成滚动样本外的实盘策略结论。