动量（Momentum）

主线：把“过去赢家继续赢”写成端点精确的窗口、方向明确的持仓和成本可计的收益，并区分横截面动量（cross-sectional momentum, XSMOM）与时间序列动量（time-series momentum, TSMOM，又称趋势 trend）是两件不同的事。 先修：第11章（收益与复利）、第23章（截面研究）。完成后你能：写出 12–1 动量在信号月的确切端点，不差一个月；说明 $\prod(1+r)-1$ 与求和的区别；构造横截面赢家减输家与时间序列趋势两种组合；用重叠持有降低换手并推出换手公式；识别价格拆股、期货展期与连续合约（continuous contract）、幸存样本三类数据口径问题；用 10 个行业的真实月收益报告结果，并把负结果、成本与崩溃状态一起报告。

1. 本章目标

读者应能做到：

1. 对信号月 $s$（月末），写出 12–1 的形成区间（months $s-11,\dots,s-1$，共 11 个月）、被跳过的月份（$s$）、持有区间（$s+1$），并说明时间序列动量（Moskowitz、Ooi 与 Pedersen 2012，下称 MOP）的 12–0 窗口含最近一个月。
2. 手算并区分 $\prod(1+r)-1$、$\sum r$、$\sum\ln(1+r)$，给出一个求和排序与复利排序相反的例子。
3. 构造横截面动量组合（形成收益最高桶做多、最低桶做空）与时间序列动量组合（各资产按自己过去收益的符号做多或做空，按事前波动率缩放），并分别说明净暴露（net exposure，有符号权重之和，亦即多头权重和减空头权重绝对值之和）、总暴露（gross exposure，权重绝对值之和）与基准。
4. 构造 $K$ 个月重叠持有（overlapping holdings）的组合，推出相邻月份权重变化为 $(w^{(t)}-w^{(t-K)})/K$，并用真实行业数据比较 $K=1,3,6$ 的换手（turnover，每月权重绝对变化之和）与成本。
5. 识别并修复三类口径错误：拆股与分红造成的假输家、期货展期拼接造成的假收益、以现存股票池回测造成的幸存者偏差。
6. 报告 10 个行业组合上的 12–1、窗口变体、$J\times K$ 网格（含 Bonferroni 门槛）、时间序列趋势与“始终做多”基准、崩溃状态，并明确哪些不能说。

完成标准：任何动量信号都附一张时间图，标明形成月份、跳过月份、signal_time、trade_time 与持有月份，并能说明窗口比标准定义多一个月或少一个月会改变什么。

2. 为什么 Quant 需要它

动量是 Part IV 里最容易被“实现错”的因子：定义只有一句话（过去涨得多的继续涨），但窗口端点差一个月、收益用求和代替复利、价格没有调整拆股、期货价格直接拼接、股票池只含现存公司，都会改变结果，而且每一种都不会报错。动量也是有明确崩溃风险的因子：长期均值为正的策略会在极少数月份出现非常大的损失，这些月份集中在市场暴跌之后的反弹里，所以只报告均值与 $t$ 是不完整的。

本章的逻辑链：先把窗口端点与复利写精确（6.1–6.2），再用重叠持有与波动率缩放写出两种组合（6.3–6.4），再说明为什么两者的风险与基准不同（6.5），再看崩溃状态（6.6），再处理数据口径（6.7–6.8），最后在 10 个行业组合上做完整报告（11 节）。第23章的逐期 IC、分位组合与按依赖结构选择的时间推断方法在这里使用；第22章的试验账本约束窗口搜索；第27章会把展期问题扩展到 carry。

3. 直觉

过去一年涨得最多的资产，下个月比过去一年跌得最多的资产平均多涨一点，这是横截面动量。一条价格自己过去一年向上，下个月继续向上的可能性更大，这是时间序列动量，也叫趋势。前者比较资产之间的相对位置，永远一多一空、净头寸约为零；后者只看每个资产自己，若大多数资产都在上涨，组合就会净做多，收益里混着市场整体的涨跌。

直觉里还有两个细节。其一，为什么要跳过最近一个月：个股的月收益有短期反转，最近一个月的赢家下个月往往回吐一点，这与流动性和微观结构有关（AMP 2013，印刷页 936）；所以 12–1 的“1”就是把最近一个月从形成期里拿掉。其二，为什么要看“持有多久”：信号每个月更新，如果每个月都把整个组合换掉，换手很高；让每个月的新持仓批次（vintage） 只占目标账本的 $1/K$；替换的是 vintage 份额，实际换手还取决于新旧权重差，代价是反应更慢（Jegadeesh 与 Titman 1993 的重叠持有设计）。

简化的边界：本章的真实案例只有 10 个行业组合（已修订的价值加权月收益），它们没有个股的微观结构反转，截面小，且不是可交易的成交序列；个股层面的结论本章没有数据支持。

3.1 让实际月份把 12–1 的时钟固定下来

4. 数学基础

记号。 资产 $i$ 的月简单收益 $R_{i,t}$（无量纲小数，月 $t$ 当月的收益，在月末 $t$ 确定）。信号月 $s$ 指月末 $s$，决策在 $s$ 月末做出，持有月为 $s+1$。窗口用“跨度–跳过”记法：12–1 表示向前数 12 个月、跳过最近 1 个月，所以实际使用 $12-1=11$ 个月的收益。

复利收益。 对月份集合 $\mathcal W$，$F=\prod_{k\in\mathcal W}(1+R_{i,k})-1$。展开 $\prod_{k}(1+R_k)-1=\sum_kR_k+\sum_{j<k}R_jR_k+\dots+\prod_kR_k$，求和只是第一阶；每月收益 $\pm5\%$ 量级时，二阶项在一年内约为 $0.5\times(\sum R)^2-0.5\sum R^2$ 的量级。对数收益 $\ln(1+R)$ 可以相加：$\ln(1+F)=\sum_k\ln(1+R_k)$。

时间序列信号。 资产 $i$ 的符号 $\mathrm{sign}(F_i)\in\{-1,0,+1\}$；波动率 $\sigma_{i,s}$ 是只用 $s$ 月末及之前的收益估计的年化标准差；组合权重 $w_{i,s}=\mathrm{sign}(F_{i,s})\cdot(\sigma^*/\sigma_{i,s})/S_s$，其中 $\sigma^*$ 是每个资产的目标年化波动率，$S_s$ 是当月有效资产数。

重叠持有。 每月形成一个“vintage”（一批目标权重）$w^{(s)}\in\mathbb R^N$，持有 $K$ 个月；$s$ 月末的组合为 $B_s=\frac1K\sum_{j=0}^{K-1}w^{(s-j)}$。

熊市状态。 $I_s=\mathbf 1\{\prod_{k=s-23}^{s}(1+M_k)-1<0\}$，$M_k$ 是市场总收益；它只用 $s$ 月末及之前 24 个月。这是 Daniel–Moskowitz（2014 年工作稿，表 3 说明）的定义。

频率约定：月频；signal_time 是月末；成交在下一个可交易时点；收益区间是 $s+1$ 月；全部权重按月更新。

5. 正式定义

形成区间（formation interval）、跳月（skip）与持有区间（holding interval）。 形成区间是用来计算信号的月份，12–1 是 $s-11,\dots,s-1$；跳月是形成区间与持有区间之间被排除的月份，12–1 里是月份 $s$；持有区间是信号决定后持有的月份，月份 $s+1$。French 数据库的“prior (2–12)”对应同一定义：组合在 $t-1$ 月末形成、持有 $t$ 月，形成月份是 $t-12,\dots,t-2$（French 动量因子说明页）。

横截面动量（cross-sectional momentum）。 同一日期把资产按形成收益排序，买入最高桶、卖出最低桶（Jegadeesh 与 Titman 1993 用十分位）。它按相对排名定方向，而非按每个资产绝对收益的正负；组合市场风险仍取决于两腿暴露。

时间序列动量（time-series momentum, TSMOM）。 每个资产按自己过去收益的符号决定多空，位置大小反比于事前波动率（Moskowitz、Ooi 与 Pedersen 2012，式 (5)：$\mathrm{sign}(r_{t-12,t})\cdot(40\%/\sigma_{t})\,r_{t,t+1}$，其中 $\sigma_t$ 是 $t$ 月末已知的事前波动率；形成窗口含最近一个月）。

短期反转（short-term reversal）。 最近一个月收益的负向预测，在个股中与流动性和微观结构有关（AMP 2013）；本章在行业组合里检验它是否存在。

趋势（trend）。 与时间序列动量同义使用，指资产价格自身的持续方向。

动量崩溃（momentum crash）。 动量策略出现的持续或极端的负收益，集中在市场下跌之后的反弹月份（Daniel 与 Moskowitz 2014）。

再平衡（rebalancing）与重叠持有。 每月更新信号并调整头寸；重叠持有每月替换一个占 $1/K$ 的 vintage，不保证交易量恰降为 $1/K$。本课每月重置这些目标权重的等权平均，忽略价格漂移；它不同于不调整的真实买入持有。

总回报、价格回报与调整价格。 价格回报只含价格变动；总回报含股息与拆股调整。拆股后未调整的价格会把拆股当作暴跌。

展期（roll）与连续合约。 期货合约到期前换到下一个合约。把不同合约的价格首尾相连得到的“连续价格”在展期日有一个跳跃，这个跳跃不是持有任何合约的收益。

幸存者偏差（survivorship bias）。 回测的股票池只包含后来仍然存在的公司，而在每个历史 signal_time 实际可投资的公司（含后来退市者）没有被包含。

6. 推导

6.1 12–1 的精确端点

信号月 $s$（月末）。形成收益

所用月份是 $s-11,s-10,\dots,s-1$，共 11 个月；月份 $s$ 被跳过；持有月份是 $s+1$。向前数 12 个月（$s-11$ 到 $s$）、拿掉最近 1 个月，所以叫 12–1。MOP（2012）的时间序列信号用 $r_{t-12,t}$，即 $\prod_{k=0}^{11}(1+R_{s-k})-1$，月份 $s-11,\dots,s$，共 12 个月，不跳月。两者窗口相差一个月，不是同一个信号。差一个月的三种错误：(1) 窗口向前挪一个月（$s-12,\dots,s-2$），丢掉最近的有效信息；(2) 窗口向后挪一个月（$s-10,\dots,s$），把应跳过的月份包含进来；(3) 12–1 误写成 12 个月减 1 个月后仍用 12 个月（$s-12,\dots,s-1$）。formation_return(returns, window=11, skip=1) 的第 $s$ 行恰是 $s-11,\dots,s-1$，并由测试验证改变月份 $s$ 及之后的收益不会改变该行（第23章第9节代码段五）。

6.2 为什么是 $\prod(1+r)-1$，不是 $\sum r$

收益在时间上复利：本金 1 经过 $n$ 个月变为 $\prod(1+R_k)$，累计收益是它减 1。求和低估或高估取决于波动：$\prod(1+R_k)-1=\sum R_k+\sum_{j<k}R_jR_k+\dots$。对排序的影响：小收益二阶近似下，固定算术和时更大的平方和降低复利；严格比较需额外条件，例如同样正财富因子的均值保持扩散使对数和下降。任意多月路径仅凭方差大小不能推出复利总序。下面两个月例可直接精确计算。例：X 的两个月收益 $+50\%,-50\%$，求和 0，复利 $1.5\times0.5-1=-25\%$；Y 的两个月收益 $0,0$，求和 0，复利 0。用求和排序，X 与 Y 并列；用复利排序，Y 高于 X。对数收益求和与复利一致：$\ln1.5+\ln0.5=-0.288=\ln0.75$。所以本章的信号一律用复利；若数据本身是对数收益，则用求和后再取指数（formation_return 对简单收益取 log1p 求和后 expm1，收益单元缺失或历史不足使窗口为 NaN；缺日历月行违反连续索引要求并报错）。

6.3 重叠持有组合的换手

每月形成一批新权重 $w^{(s)}$，持有 $K$ 个月，组合 $B_s=\frac1K\sum_{j=0}^{K-1}w^{(s-j)}$。相邻月份的组合差

因为 $B_s$ 与 $B_{s-1}$ 共有中间 $K-1$ 个 vintage，只相差最新加入的 $w^{(s)}$ 与刚被移出的 $w^{(s-K)}$。所以目标权重换手

每个 vintage 的总暴露为 2（各腿 1），所以 $\|w^{(s)}-w^{(s-K)}\|_1\le4$，换手上界 $4/K$；$K=1$ 时是相邻两个月的变化。信号越持续，$\|w^{(s)}-w^{(s-K)}\|_1$ 随 $K$ 增长得越慢，换手降低得越多。真实行业数据上 $K=1,3,6$ 的换手均值是 0.904、0.518、0.364（11 节）：$K=3$ 时 $\|\cdot\|_1$ 均值约 $3\times0.518=1.55$，大于 $K=1$ 的 0.904，说明三个月前的组合比一个月前的更不同，但每月只需修订三分之一。代价是信号反应更慢：持有 $K$ 个月使组合里平均有 $(K-1)/2$ 个月的陈旧信息。

6.4 时间序列动量的暴露与基准

权重 $w_{i,s}=\mathrm{sign}(F_{i,s})\,(\sigma^*/\sigma_{i,s})/S_s$，总暴露 $\sum|w_i|=\frac{\sigma^*}{S}\sum_i|\mathrm{sign}(F_i)|/\sigma_i$ ；只有所有有效符号非零时才能简写为倒数波动率之和，零信号权重为零；净暴露 $\sum w_i=\frac{\sigma^*}{S}\sum_i\mathrm{sign}_i/\sigma_i$，由多空资产的占比与波动率共同决定。手算（8.3 节）：三个资产，信号 $(+1,-1,+1)$，波动率 $(10\%,20\%,40\%)$，$\sigma^*=40\%$：每个资产单独的仓位 $(4,-2,1)$，除以 3 得 $(1.333,-0.667,0.333)$，总暴露 2.333，净暴露 1.0。净暴露说明名义多空不平衡，但不单独证明市场 beta 的大小或符号；市场 beta 还需各资产暴露。这个行业样本的多数资产有股票市场风险：多数资产在趋势向上时，组合净做多。所以评价时序动量必须与“始终做多、同样缩放”的基准比较：$r^{\mathrm{TS}}_{s+1}=\sum_i w_{i,s}r_{i,s+1}$ 对 $r^{\mathrm{AL}}_{s+1}=\sum_i(\sigma^*/\sigma_{i,s}/S)\,r_{i,s+1}$。MOP（2012）也做了对始终做多的回归（“a positive alpha in 90% of the cases”）。真实行业数据上，时间序列 12–0 的月均 1.391%，始终做多（同样缩放）1.779%；两者差 $-0.389\%$（$t=-1.05$）：这个样本里趋势过滤没有超过始终持有。

6.5 横截面与时间序列的差别

横截面动量是相对的：多空等额，净暴露为零，名义资金配平；市场 beta 是 $\sum_iw_i\beta_i$，并不因 $\sum_iw_i=0$ 而必为零。它主要表达相对强弱，仍可能承担市场方向风险。时间序列动量是绝对的：每个资产只与自己的过去比较，组合可以全部做多或全部做空，净暴露随市场状态变化。两者的信号都用过去收益，但组合性质不同，所以它们的相关只有 0.42（行业样本），评价时的基准也不同：横截面对零（或对等权），时间序列对始终做多。

6.6 崩溃状态：条件均值

把月份按信号月的状态分成熊市与非熊市（过去 24 个月市场累计收益是否为负），横截面动量的下月多空收益的条件均值为 $\bar r_1$ 与 $\bar r_0$，状态占比 $p$，则无条件均值 $=p\bar r_1+(1-p)\bar r_0$。行业数据：熊市状态占 16.2%（191 个月），均值 $-0.179\%$ 每月（标准差 7.05%）；非熊市 987 个月均值 $+0.644\%$（标准差 4.37%）。熊市状态下波动更高、均值为负，十个最差月份里 7 个出现在熊市状态之后，其中 8 个月市场当月上涨（11 节表）。这与 Daniel–Moskowitz（2014，印刷页 8）对个股赢家减输家的描述方向一致，但本章样本是 10 个行业组合，不是该文的十分位个股，不能当作复现。

6.7 价格、拆股、分红与总回报

拆股比例 $\rho$（1 股变 $\rho$ 股）、拆股后每股价格 $P^{\mathrm{post}}$、每新股现金红利 $D$、拆股前价格 $P^{\mathrm{pre}}$：总回报 $R=(\rho P^{\mathrm{post}}+\rho D)/P^{\mathrm{pre}}-1$；未调整的价格变动是 $P^{\mathrm{post}}/P^{\mathrm{pre}}-1$。第3章的构造例：$P^{\mathrm{pre}}=100$，$\rho=2$，$P^{\mathrm{post}}=51$，$D=1$：总回报 $(102+2)/100-1=+4\%$，未调整价格变动 $-49\%$。用未调整价格的动量会把这只股票当成输家；这一个月的收益被低估 $4-(-49)=53$ 个百分点；整段形成信号的差还要乘以窗口中其余月份的财富因子（见下文），不能直接当作49个百分点。

6.8 展期拼接：连续价格不是收益

本节及8.5、25-E06将同一合约的价格比串联为收益指数：忽略费用和抵押品利息，每段以起始合约价全额抵押，并随财富调整名义金额，才可将各段财富因子相乘。固定一手合约须逐段计算货币P&L，再按明确资本分母换算，不能直接称相同资本回报。

合约 A 在 $t_0,t_1$ 的价格 $100,102$；到 $t_1$ 展期，下一个合约 B 在 $t_1,t_2$ 的价格 $106,107$。把价格首尾相连：$100,102,106,107$，“收益” $+2\%,\,+3.92\%,\,+0.94\%$。第二个 $+3.92\%$ 是 $106/102-1$，它比较的是两个不同合约的价格：A 在 $t_1$ 平仓得 102，同一时刻 B 在 $t_1$ 建仓价 106，持有人没有赚到这 3.92%。真实可得的收益是 A 持有期 $+2\%$、B 持有期 $107/106-1=+0.94\%$。若 B 的价格低于 A（现货溢价、期货曲线向下倾斜），拼接产生负的假收益。AMP（2013，附录 A.5）对商品期货的做法是取最流动合约的日超额收益再复利，而不是拼接价格。时间序列动量在这样的价格上会把展期跳跃当成趋势；第27章把展期收益单独分解。

7. 金融解释

动量的收益来自哪里，本章不判决。 Jegadeesh 与 Titman（1993）报告了美国个股 1965–1989 年的赢家减输家收益；Asness、Moskowitz 与 Pedersen（2013）在多个资产类别里使用同一个简单度量；Moskowitz 等（2012）报告时间序列动量在 58 个期货上持续 1 到 12 个月并部分反转。这些文献里的解释（对信息的反应不足、风险补偿等）本章没有读原文细节，正文不转述；对 Quant 的要求是：无论解释如何，信号必须在 signal_time 可构造，成本必须计入，崩溃必须单独报告。

行业动量与个股动量不同。 12–1 的“跳月”在个股里是为了避开短期反转（AMP 2013，印刷页 936），AMP 同时说明对于股指期货和货币，不跳过最近一个月的动量更强（印刷页 937）。行业组合是大量股票的价值加权平均，买卖价差与流动性的微观结构影响被平均掉。本章的行业数据与这一点一致：窗口 1–0（上个月收益）的多空月均 $+0.740\%$（$t=5.61$），而 1–1（历史规格名；window=1, skip=1，只用 $s-1$ 月）月均 $-0.028\%$（$t=-0.21$）；12–0 的 $0.621\%$ 大于 12–1 的 $0.519\%$。这不说明个股动量也不该跳月，只说明在 10 个行业组合上没有看到跳月带来的好处。

换手是动量的主要成本来源。 横截面 12–1 每月目标权重换手 0.904（毛暴露 2）；按每单位换手 10 bp 的假设，月成本 9 bp，使 0.519% 变成 0.427%。$K=3$ 把换手降到 0.518，净收益 0.423%，$t$ 从 2.99 升到 3.06。成本假设是 10 bp 每单位，不是对行业组合的真实估计；卖空的借券与融资成本没有计入。

崩溃风险要和均值一起报告。 10 个行业横截面 12–1 的复利累计在最差时期的回撤约 64%，十个最差月份损失 13.6% 至 34.8%，7 个发生在熊市状态之后。均值为正的策略仍可能让投资者无法持有它。

时间序列趋势的收益里有市场。 行业样本的多数月份趋势信号为正（67.4% 的资产多头），组合平均净暴露 1.05，所以它的月均 1.391% 里包含了股票风险溢价；相对始终做多的差均值为-0.389%每月，t=-1.05，未见统计明确的正增量；这不是回归alpha估计。

7.1 三个问题与三个待检验机制

横截面动量问：“同一天过去赢家相对输家，下月是否更好？”它需要一个共同股票池，做赢家减输家；即使所有股票过去都跌，只要相对排名可用，仍会同时做多和做空。时间序列动量问：“这一个资产自己的过去方向，下月是否延续？”它以零收益或明确的超额收益零点作阈值，所有资产同向时可以净多或净空。短期反转问：“最近一个月的赢家是否回吐？”若信号定为最近月收益的相反数，越大代表最近跌得更多；它与12–1排除了最近月是两种规格，不能用一个名字替换另一个。

反应不足是一种假说：信息进入价格需要时间，使过去趋势继续。它可用事前界定的信息事件和后续漂移检验。风险补偿是另一种：赢家与输家的状态暴露不同，收益伴随某些反弹时的损失；第11节的崩溃状态描述只能提示这种检验，不能证明原因。测量代理还可能来自行业趋势、滞后成交或流动性，须用相应股票池与可得报价控制来检查。三者都能与正历史收益共存，历史利润不能裁决解释。此处提出研究问题，不扩展原文经验结论。

跳月是一项事前规格，代价是放弃最近信息；它是否有益取决于资产与数据口径。行业组合中1–0为正的旧结果和时间序列相对始终做多的负差结果都保留。样本换成个股、期货或货币后，必须重新定义输入，不能按本章19个变体里表现最好者反过来选择主规格。

8. 数值例题：手算每一步

所有数字由 hand_examples() 产生，并由 qa/a5/claude/recompute/ch25_recompute.py 用不同实现复核。例子为教学构造。

8.1 12–1 的窗口：十四个月的收益

某资产 14 个月的月简单收益（月份 1 到 14）：$0.03,\allowbreak -0.02,\allowbreak 0.05,\allowbreak 0.01,\allowbreak -0.04,\allowbreak 0.06,\allowbreak 0.02,\allowbreak -0.01,\allowbreak 0.04,\allowbreak 0.03,\allowbreak -0.02,\allowbreak 0.05,\allowbreak -0.06,\allowbreak 0.02$。信号月为月份 13 的月末，持有月为月份 14。12–1 的形成月份是 2 到 12（11 个月），月份 13（$-6\%$）被跳过。

• 复利：$\prod_{k=2}^{12}(1+R_k)-1=17.716\%$；求和 $17.0\%$；差 0.716 个百分点。
• 向前挪一个月（月份 1 到 11）：$15.474\%$；向后挪一个月（月份 3 到 13，包含被跳过的月份）：$12.911\%$；包含月份 13 的 12 个月（月份 2 到 13，即 12–0 窗口）：$10.653\%$。

读法：同一个资产在三种错误窗口下的信号相差 2 至 7 个百分点；12–0 比 12–1 低了 7 个百分点，因为被跳过的月份是 $-6\%$，若有大量资产像这样在最近一个月回吐，12–0 会把它们排得更靠后。

8.2 横截面：六个资产

6 个资产的 12–1 形成收益 $(A,B,C,D,E,F)=(30\%,12\%,5\%,-2\%,-10\%,-25\%)$，下个月收益 $(2\%,3\%,1\%,0\%,1\%,-2\%)$。取最高 2 个与最低 2 个：做多 A、B，做空 F、E。多头腿平均 $(2+3)/2=2.5\%$，空头腿平均 $(-2+1)/2=-0.5\%$，多空 $=2.5-(-0.5)=3.0\%$。各腿资金 1，所以总暴露 2，净暴露 0。

8.3 时间序列：波动率缩放

三个资产信号 $(+1,-1,+1)$，事前年化波动率 $(10\%,20\%,40\%)$，目标 40%：单个仓位 $(4,-2,1)$，除以 $S=3$ 得权重 $(1.333,-0.667,0.333)$。总暴露 $2.333$，净暴露 $1.0$。下个月收益 $(1\%,-2\%,3\%)$，各资产贡献 $(1.333\%,1.333\%,1.0\%)$，组合 $3.667\%$。读法：低波动资产权重大；组合净做多 1.0，说明它不是中性的。

8.4 拆股与分红

第3章构造例：拆股前 100，1 股拆为 2 股（美股称 2-for-1 split），拆股后 51，每新股分红 1。总回报 $(2\times51+2\times1)/100-1=4\%$；未调整价格变动 $51/100-1=-49\%$。

8.5 期货展期

合约 A：$100,\,102$；展期时合约 B：$106,\,107$。拼接价格序列 $100,102,106,107$，拼接收益 $2.00\%,\,3.92\%,\,0.94\%$；可得收益 $2.00\%$（持有 A）、$0.94\%$（持有 B）；展期点的 3.92% 是假收益。

8.6 重叠持有与换手

两个资产，六个月的 vintage 权重：前两个月 $(0.5,-0.5)$，第 3 个月起翻转为 $(-0.5,0.5)$，其余月份保持。$K=1$：相邻月换手 $0,2,0,0,0$，翻转当月交易 2.0。$K=3$：组合 $B$ 是最新三个 vintage 的平均。表里从第 3 个月起才有三个 vintage：第 3 月 $\tfrac13(0.5+0.5-0.5)=0.167$，第 4 月 $\tfrac13(0.5-0.5-0.5)=-0.167$，第 5 月 $-0.5$，第 6 月 $-0.5$（第一个资产的权重；第二个资产符号相反）。表内换手 $0.667,0.667,0$。若此前一直是 $(0.5,-0.5)$，第 2 月的组合已是 $(0.5,-0.5)$，则第 2 到第 3 月还有一次 $0.667$，翻转的三个分摊月共交易 $0.667\times3=2.0$，与 $K=1$ 一次交易 2.0 相同：总量没变，但每个月的交易更小。若信号经常来回翻转，$K=3$ 会抵消一部分往返交易，总换手降低；真实行业数据上 $K=1,3,6$ 的换手均值是 0.904、0.518、0.364（11 节）。

8.7 熊市状态

市场月收益全为 $+1\%$，只有第 3 个月是 $-35\%$。信号月 $s=24$（第 24 个月末）：窗口月份 1 到 24 含第 3 个月，累计 $1.01^{23}\times0.65-1=-18.3\%<0$，状态 1。$s=26$：窗口月份 3 到 26 仍含第 3 个月，累计仍为 $-18.3\%$，状态 1。$s=27$：窗口月份 4 到 27 不再含第 3 个月，累计 $1.01^{24}-1=+26.97\%$，状态 0。窗口滑过崩溃月之后的第一个月，状态翻转。

9. Python 实现

窗口在 factor_signals.py 的 formation_return（第22章引入），组合与成本在新模块 momentum.py；截面分桶、IC、Newey–West 复用第23章的 factor_research.py。

默认离线入口（从 I3 阅读包根目录运行）：

.venv/bin/python run_notebook.py notebooks/ch25_momentum.ipynb

默认 RUN_FRENCH=False，展示窗口、复利、CS/TS权重及24×6、种子2的vintage恒等式（K=1/3/6）。五个市场单元均跳过，默认不导入ch25模块、不计算拆股/展期或历史网格。 runner另写 runs/execution_<stem>_<uuid>/ 的执行副本与状态。Notebook英语语言层及整包路径在BIL23装配；下列为历史完整CLI与测试参考，并非默认离线命令：

.venv/bin/python code/ch25_momentum.py
.venv/bin/python -m pytest tests/test_ch25_momentum.py tests/test_ch25_workflow.py -q

频率月；signal_time 是月末；成交在下一可交易时点；收益区间是 $s+1$ 月；French 行业与 FF3 经哈希核对读取，修订历史。单位成本 10 bp 是假设值，不是估计。

代码段一：12–1 窗口与三种错误窗口（8.1 节）。

import numpy as np
import pandas as pd

from quant_course.factor_signals import formation_return

r = [0.03, -0.02, 0.05, 0.01, -0.04, 0.06, 0.02, -0.01, 0.04, 0.03, -0.02, 0.05, -0.06, 0.02]
frame = pd.DataFrame({"a": r}, index=pd.period_range("2020-01", periods=14, freq="M"))
s = pd.Period("2021-01", "M")                                    # month 13: signal at the end of this month
f121 = formation_return(frame, window=11, skip=1).loc[s, "a"]    # months 2..12
f120 = formation_return(frame, window=12, skip=0).loc[s, "a"]    # months 2..13, nothing skipped (time-series style)
early = np.prod(1 + np.array(r[0:11])) - 1                      # months 1..11
late = np.prod(1 + np.array(r[2:13])) - 1                       # months 3..13
assert abs(f121 - 0.177159) < 1e-6 and abs(f120 - 0.106530) < 1e-6
assert abs(early - 0.154737) < 1e-6 and abs(late - 0.129112) < 1e-6
assert abs(sum(r[1:12]) - 0.17) < 1e-12                          # the sum, 0.716 percentage points lower
print(round(f121, 4), round(f120, 4), round(early, 4), round(late, 4))

代码段二：求和与复利给出相反的排序（6.2 节）。

import numpy as np
import pandas as pd

from quant_course.factor_research import rank_cross_section
from quant_course.factor_signals import formation_return

idx = pd.period_range("2020-01", periods=2, freq="M")
returns = pd.DataFrame({"X": [0.50, -0.50], "Y": [0.0, 0.0]}, index=idx)
compound = formation_return(returns, window=2, skip=0).iloc[-1]
total = returns.sum()
assert np.isclose(total["X"], 0.0) and np.isclose(total["Y"], 0.0)                              # sums tie
assert np.isclose(compound["X"], -0.25) and np.isclose(compound["Y"], 0.0)                      # compounding separates them
assert np.isclose(np.log1p(returns["X"]).sum(), np.log(0.75))                                   # log returns add up to the compound return
assert list(rank_cross_section(compound.to_numpy())) == [1.0, 2.0]                              # X is the loser
print(compound.round(4).to_dict())

代码段三：横截面六资产与时间序列权重（8.2、8.3 节）。

import numpy as np
import pandas as pd

from quant_course.factor_research import quantile_long_short_weights
from quant_course.momentum import tsmom_weights

idx = pd.period_range("2026-06", periods=1, freq="M")
names = list("ABCDEF")
formation = pd.DataFrame([[0.30, 0.12, 0.05, -0.02, -0.10, -0.25]], index=idx, columns=names)
w = quantile_long_short_weights(formation, 3).iloc[0]                  # terciles of 6 names: top 2 long, bottom 2 short
nxt = np.array([0.02, 0.03, 0.01, 0.00, 0.01, -0.02])
np.testing.assert_allclose(w.to_numpy(), [0.5, 0.5, 0, 0, -0.5, -0.5])
assert abs(w.to_numpy() @ nxt - 0.03) < 1e-12 and abs(w.sum()) < 1e-12 and abs(w.abs().sum() - 2.0) < 1e-12

sig = pd.DataFrame([[1.0, -1.0, 1.0]], index=idx, columns=list("xyz"))
vol = pd.DataFrame([[0.10, 0.20, 0.40]], index=idx, columns=list("xyz"))
tw = tsmom_weights(sig, vol, target_vol=0.40).iloc[0]
np.testing.assert_allclose(tw.to_numpy(), [4 / 3, -2 / 3, 1 / 3])
assert abs(tw.abs().sum() - 7 / 3) < 1e-12 and abs(tw.sum() - 1.0) < 1e-12                       # gross 2.33, net 1.0: not market neutral
assert abs(tw.to_numpy() @ np.array([0.01, -0.02, 0.03]) - 0.036667) < 1e-6
print(tw.round(3).to_dict())

代码段四：重叠持有的换手公式 $\mathrm{turn}_s=\|w^{(s)}-w^{(s-K)}\|_1/K$（6.3 节）。

import numpy as np
import pandas as pd

from quant_course.momentum import blend_vintages

rng = np.random.default_rng(2)
idx = pd.period_range("2020-01", periods=24, freq="M")
vint = pd.DataFrame(rng.choice([-0.5, 0.0, 0.5], size=(24, 6)), index=idx)          # arbitrary vintage weights
for K in (1, 3, 6):
    blended = blend_vintages(vint, K)
    turnover = blended.diff().abs().sum(axis=1, min_count=1)
    formula = pd.Series([np.abs(vint.iloc[i] - vint.iloc[i - K]).sum() / K for i in range(len(vint))], index=idx)
    np.testing.assert_allclose(turnover.iloc[K:].to_numpy(), formula.iloc[K:].to_numpy(), atol=1e-12)
    assert turnover.iloc[:K].isna().all()                                      # no turnover before K vintages exist
print("turnover = ||w_s - w_(s-K)||_1 / K holds for K = 1, 3, 6")

代码段五：拆股、分红与期货展期（8.4、8.5 节）。

pre, ratio, dividend, post = 100.0, 2.0, 1.0, 51.0
assert abs((ratio * post + ratio * dividend) / pre - 1 - 0.04) < 1e-12 and abs(post / pre - 1 + 0.49) < 1e-12

a_prices, b_prices = [100.0, 102.0], [106.0, 107.0]
spliced = a_prices + b_prices
returns_spliced = [spliced[i + 1] / spliced[i] - 1 for i in range(3)]
tradable = [a_prices[1] / a_prices[0] - 1, b_prices[1] / b_prices[0] - 1]
assert abs(returns_spliced[1] - (106 / 102 - 1)) < 1e-15 and abs(returns_spliced[1] - 0.039216) < 1e-6      # fake return at the roll
assert abs(tradable[0] - 0.02) < 1e-15 and abs(tradable[1] - (107 / 106 - 1)) < 1e-15
print([round(x, 4) for x in returns_spliced], [round(x, 4) for x in tradable])

代码段六：熊市状态的窗口边界（8.7 节）与行业窗口的“没有未来信息”。

import numpy as np
import pandas as pd

from quant_course.momentum import cross_sectional_momentum_weights, trailing_bear_state

idx = pd.period_range("2000-01", periods=30, freq="M")
m = pd.Series(0.01, index=idx); m.iloc[2] = -0.35                           # month 3 is the crash month
state = trailing_bear_state(m, window=24)
assert np.isnan(state.iloc[22]) and state.iloc[23] == 1.0 and state.iloc[25] == 1.0 and state.iloc[26] == 0.0

rng = np.random.default_rng(4)
returns = pd.DataFrame(rng.normal(0.01, 0.05, (48, 10)), index=pd.period_range("2010-01", periods=48, freq="M"))
base = cross_sectional_momentum_weights(returns, window=11, skip=1, n_buckets=5, hold_months=3)
shocked = returns.copy(); shocked.iloc[30:] = 0.3
changed = cross_sectional_momentum_weights(shocked, window=11, skip=1, n_buckets=5, hold_months=3)
pd.testing.assert_frame_equal(base.iloc[:31], changed.iloc[:31])           # months >= 30 cannot change weights decided up to month 30
print(state.iloc[[22, 23, 25, 26]].tolist())

10. 图形解读

图 25-1：窗口时间轴。 横向是日历月 1 到 15，信号在月份 13 的月末。第一行：横截面 12–1 用月份 2 到 12（蓝色，11 个月），月份 13（斜线）被跳过，持有月份 14（橙色）。第二行：时间序列 12–0 用月份 2 到 13（紫色，12 个月），不跳月。第三行：窗口向前挪一个月（灰色，月份 1 到 11）是一种常见的错误。读法：三行的信号不是同一个数。

图 25-2：10 个行业的组合累计与最差月份。 左图纵轴是复利财富（对数刻度，起点为 1），样本 1927-07 起：横截面 12–1 的多空（$K=1$ 与 $K=3$，毛收益，总暴露 2）、时间序列 12–0（超额收益，波动率缩放，总暴露约 2.5）、同样缩放的始终做多。读法：横截面多空长期上行但幅度小；时间序列趋势与始终做多同向，2000 年后始终做多更高。右图是横截面 12–1 的月度多空收益（% 每月），橙点是十个最差月份。样本是已修订的行业组合，不是成交。

图 25-3：$J\times K$ 网格的 $t$ 值。 行是形成跨度 $J\in\{3,6,9,12\}$（使用月份 $s-J+1,\dots,s-1$，$J=12$ 是标准 12–1），列是持有月数 $K\in\{1,3,6,12\}$，格子里是五分位多空（每桶 2 个行业）的 Newey–West $t$（滞后 $K-1$）。16 个策略的名义 Bonferroni 双侧正态门槛是 $z=2.955$。有效FWER控制要求边际p值已校准；这里只沿用NW/正态近似，滞后 $K-1$ 是冻结规格，不是所有依赖结构下的充分带宽。读法：越过门槛的只有 $(12,1)$ 的 3.64、$(12,3)$ 的 3.43 和 $(9,6)$ 的 3.18；$(9,3)$ 的 2.94 略低于门槛；形成跨度短且持有短的格子不显著。

图 25-4：崩溃状态。 左图：把信号月按“过去 24 个月市场累计总收益是否为负”分成两类，横截面 12–1 的下月平均多空：非熊市 987 个月 $+0.644\%$，熊市 191 个月 $-0.179\%$（竖线是 ±2 倍标准误）。右图：每个点是一个月，横轴是该月市场总收益，纵轴是多空收益，橙色是熊市状态。读法：最大的损失出现在市场大涨的月份（右下角），多发生在熊市状态之后。

11. 历史市场案例

数据。 与第22–24章相同的冻结 French 10 行业价值加权月收益（处理后 CSV SHA-256 3b097d810c295d64eedfa1ece7067ff2a0707f5ca90e33935df9949251f70950，1926-07 至 2026-08 共 1,202 个月）以及 FF3 的 Mkt-RF 与 RF（处理后 SHA-256 c19770a19a0ac47ad1c29074f57234570aeaa9725212cb4fa8146a2846c52814）。行业组合是已修订的发布收益，10 个资产，不是个股，不是成交序列。本章没有新增下载。

横截面 12–1（五分位，每桶 2 个行业，等权，月度形成）。 信号月 1927-06 至 2026-07。12–1 形成收益在全部 1,191 个有形成收益的月份都没有并列，所以每桶恰为 2 个行业；一个月窗口的变体（1–0、1–1）各有 60 个月出现并列，并列者按平均名次处理，极端桶可能含 1 或 3 个行业，多空两腿各自的权重和仍为 1。

均值口径。 表中K=1/3/6的毛收益分别有1190/1188/1185个月，净收益为1189/1187/1184个月。首次有效目标权重没有上一期可比权重，换手及净收益因此缺失；换手均值按权重差自身的有效行计算，还可能含没有下一月收益标签的末行。因此毛均值减净均值不必等于10bp乘此列换手均值。比较成本时须将毛收益和换手先对齐到同一有效月份；此表保留各历史序列自己的口径，不能从显示三位数反推新成本或修改历史结果。

月波动 4.9%（$K=1$），年化毛夏普 0.37（$K=1$）、净夏普 0.30。$K=3$ 的净夏普 0.31，高于 $K=1$ 与 $K=6$。成本只是换手乘单位成本，没有计借券与融资，也没有容量；10 bp 是假设。

窗口变体（$K=1$）。

这个表有六行，加上 $J\times K$ 的 16 个策略，其中 12–1、6–1、3–1 在两张表里重复，本节共评价了 19 个不同的横截面变体（不含另列的 TS 评估；完整研究账本仍须计入后者），必须按第22章计入账本：19 次检验的 Bonferroni 双侧门槛是 $z=3.01$。越过它的有 1–0（5.61）、12–0（4.41）、12–1（3.64）、$(12,3)$（3.43）和 $(9,6)$（3.18），其余没有。1–0（上个月收益）在行业层面是正的（没有短期反转），而只用 $s-1$ 月的 1–1 约为零。

$J\times K$ 网格（NW $t$；括号内为月均 % ）。

时间序列动量（超额收益；每个资产目标年化波动 40%；波动率为过去 36 个月标准差，至少 12 个月）。

TS 12–0 比始终做多低 $0.389\%$ 每月（差序列 $t=-1.05$）。横截面 12–1（$K=1$）与时间序列 12–0 的月收益相关 0.42。资产被判为多头的平均比例 67.4%。

崩溃状态。 过去 24 个月市场总收益（Mkt-RF 加 RF）为负的信号月 191 个（占全部有状态月份的 16.2%）：下月多空均值 $-0.179\%$，标准差 7.05%；其余 987 个月均值 $+0.644\%$，标准差 4.37%。十个最差月份：

7 个出现在熊市状态之后，8 个收益月的市场总收益为正。横截面 12–1（$K=1$，毛）的复利累计最大回撤 64.3%。

能说什么，不能说什么。 可以说：10 个行业组合上，12–1 的横截面多空在 1927–2026 为正且显著（$t=3.64$，毛），净成本后 $t=2.99$；换手随 $K$ 增大下降；不同窗口与持有期的结果差别大，只有长形成跨度、短持有的格子越过 Bonferroni 门槛；最差的月份集中在熊市状态之后的反弹。不能说：（1）个股动量存在或不存在，样本是 10 个行业组合；（2）跳月无益，行业组合没有微观结构反转，不等于个股没有；（3）2000 年之后的弱化显著，第22、23章已经给出同一数据在 2000–2026 的 $t=1.70$；（4）时间序列趋势优于始终做多，这个样本里没有；（5）净收益可得，10 bp 是假设，借券、融资与容量未计；（6）崩溃与市场反弹的关系已被证明，这里是描述，不是对 Daniel–Moskowitz 结果的复现。

12. 常见错误

错误 1：窗口差一个月。 8.1 节：同一资产的 12–1 信号是 17.72%，向前挪一个月 15.47%，向后挪一个月 12.91%，12–0 为 10.65%。修复：用 formation_return(window=11, skip=1) 并让第23章代码段五的“改未来不改过去”测试通过。

错误 2：求和代替复利。 6.2 节：$+50\%,-50\%$ 求和 0，复利 $-25\%$。修复：简单收益用复利，对数收益相加后取指数。

错误 3：横截面与时间序列的跳月不一致。 把 MOP 的 12–0 与 JT 的 12–1 混在一个对比里，会把窗口差异当作策略差异：行业数据上 12–0 的均值 0.621% 与 12–1 的 0.519% 相差 0.10 个百分点。修复：并列报告，明确写出每一列的窗口。

错误 4：未调整价格的拆股。 8.4 节：拆股使价格下降 49%，总回报 +4%。下面的例子里一个拆股后的“假输家”被排在最后，一个真正的输家被排在前面。

import numpy as np
import pandas as pd

from quant_course.factor_research import rank_cross_section

idx = pd.period_range("2020-01", periods=3, freq="M")
prices = pd.DataFrame({"split_stock": [100.0, 51.0, 52.0], "true_loser": [100.0, 90.0, 85.0]}, index=idx)   # 2-for-1 split in month 2 (+$1 dividend per new share)
unadjusted = prices.iloc[-1] / prices.iloc[0] - 1
adjusted_split = (2 * 51.0 + 2 * 1.0) / 100.0 * (52.0 / 51.0) - 1                    # total-return chain: split month, then 52/51
adjusted = pd.Series({"split_stock": adjusted_split, "true_loser": 85.0 / 100.0 - 1})
rank_u, rank_a = rank_cross_section(unadjusted.to_numpy()), rank_cross_section(adjusted.to_numpy())
assert rank_u[0] == 1.0 and rank_a[0] == 2.0                                          # unadjusted: split stock is the worst; adjusted: it is the best
print(unadjusted.round(3).to_dict(), adjusted.round(3).to_dict())

错误 5：期货价格直接拼接。 6.8 节：3.92% 的假收益。时间序列信号会把展期跳跃当成趋势。

import numpy as np

a_prices, b_prices = [100.0, 102.0, 104.0], [108.0, 109.0, 111.0]          # contract B trades at a premium: contango
spliced = np.array([100.0, 102.0, 108.0, 109.0, 111.0])                     # roll between the second and third prices
naive_return = spliced[-1] / spliced[0] - 1                                  # "12-month" return from the spliced series
true_a = a_prices[1] / a_prices[0] - 1
true_b = b_prices[2] / b_prices[0] - 1
true_total = (1 + true_a) * (1 + true_b) - 1                                  # hold A to the roll, then hold B
assert naive_return > true_total + 0.04                                       # the splice overstates the move by the roll gap
assert np.sign(naive_return) == np.sign(true_total) == 1
print(round(naive_return, 4), round(true_total, 4))

错误 6：现存股票池回测。 用今天仍上市的名单回到历史，等于用“活到现在”这一未来信息筛选股票：在下面固定赢家腿的例子里，剔除退市输家使输家腿未来收益被高估，WML被低估；一般动态股票池还会改变赢家、排名与权重，偏差方向不固定。数值例：10 只形成期的输家，9 只后来存活并平均上涨 $+20\%$，1 只退市（$-100\%$）；真实输家腿平均 $(9\times20-100)/10=+8\%$，只含存活者的回测得 $+20\%$。修复：股票池按 signal_time 当时的成员；后续标签再计入实现的退市收益，不能用今天的名单筛选历史或把未来退市收益当作信号输入。本章没有个股数据，Project 4 准备层把它列为数据缺口。

错误 7：重叠持有收益用朴素 $t$。 $K$ 个月持有的组合月收益序列相关，本章采用 Newey–West（冻结滞后 $K-1$，须另核是否覆盖实际依赖）；第23章已显示滞后 $K-1$ 在有限样本里仍偏乐观，这里的 $t$ 是 NW 值，只是量级参考。

错误 8：忽略换手与成本。 横截面 12–1 的月换手 0.904（毛暴露 2）：10 bp 的单位成本占去 0.092 个百分点，约 18% 的毛均值；$K=1$ 的净 $t$ 从 3.64 降到 2.99。修复：成本在毛收益旁边报告，并说明借券与融资未计。

错误 9：窗口搜索不入账本。 本章评价了窗口变体与 $J\times K$ 网格共 19 个不同的横截面策略，门槛应是 $z\approx3.01$ 而不是 1.96。修复：按第22章记账，并只在预先写好的主规格上下结论。

13. 量化研究应用

Project 4 的动量字段与真实研究所需清单。 当前机器信号调用 formation_return(window=11, skip=1)，价格契约列名为 total_return，定义为构造的小数月度总回报，signal_time 为月末；构造价格层没有记录真实 available_at。下表是未来真实研究需要的描述性字段清单（例如 total_return_m 不是当前机器列名），不能将其中供应商或可得时间字段称为本层已经取得：

研究流程。 先写冻结计划（第22章）：假设“同日 12–1 收益更高的资产下月收益更高”，信号窗口 12–1，$K=1$，主指标逐期 Rank IC 的 NW $t$，判据与成本假设；再评价主规格；窗口变体与 $K$ 网格只作稳健性，进账本，不改变主结论。必须同时报告：毛与净收益、换手、崩溃状态下的均值与最差月份、窗口变体、与基准（横截面对零，时间序列对始终做多）的差。

本章完成的内容与没有完成的内容。 完成：窗口与组合的核心函数、10 个行业的完整报告。没有完成：个股层面的动量（缺历史成分、退市收益、总回报价格），Project 4 的成本后策略（第 35–36 章），动态动量。第28章把动量与价值、质量合成。

13.1 收益口径和 Project 4 接口逐项对照

股票例里若其他形成月的财富乘积为 $G$，正确信号是 $G(1+R_{\rm total})-1$，未调整信号是 $G(1+R_{\rm raw})-1$，差为 $G(R_{\rm total}-R_{\rm raw})$。第6.7节拆股例的当月差是53个百分点；若 $G=1.10$，形成信号差是58.3个百分点。期货的价格相对变动还须注明这是单位名义敞口的简单教学代理，保证金账户回报与含抵押品利息的总回报另有分母。

Project 4 mom_12_1 实际调用 formation_return(..., 11, 1)，收益输入是契约中的构造月度总回报，信号月 $s$ 之后以 $s+1$ 收益作为标签。本层没有真实调整价格来源、日频下一可交易时刻或成交核验。原始形成信号进入第24章13.1节的统一预处理与合成流程；它不是直接持仓。标签对齐、Rank IC与时间推断用第23章，重叠持有的NW滞后是既有规格，不能将 $K-1$ 视为覆盖所有序列依赖的普遍充分条件。

14. 本章小结

动量由三件事决定：窗口端点（12–1 是月份 $s-11$ 到 $s-1$，MOP 的 12–0 含最近月，差一个月不是同一个信号）、复利（求和会改变排序）、组合构造（横截面多空净暴露为零，时间序列趋势可以净多或净空，必须与始终做多对比）。重叠持有每月替换 $1/K$ 的持仓批次份额；在每期重置平均目标且忽略漂移的规则下，目标权重换手为 $\|w^{(s)}-w^{(s-K)}\|_1/K$。数据口径决定结果是否可信：拆股与分红需要总回报，期货需要单一合约的收益而非拼接价格，股票池需要 signal_time 当时的成员。10 个行业组合上，12–1 为正且在成本后仍为正，但 19 个不同的横截面变体里只有少数越过多重检验门槛；时间序列趋势没有超过始终做多；最差月份集中在熊市状态之后的反弹。适用边界：行业组合不是个股；成本是假设；崩溃的描述不是复现；本章没有个股数据。

15. 练习

25-E01（手算） 某资产 14 个月收益（月份 1 到 14）：$0.04,\allowbreak -0.03,\allowbreak 0.02,\allowbreak 0.05,\allowbreak -0.01,\allowbreak 0.03,\allowbreak 0.02,\allowbreak -0.02,\allowbreak 0.01,\allowbreak 0.06,\allowbreak -0.04,\allowbreak 0.02,\allowbreak 0.03,\allowbreak -0.05$。信号在月份 13 的月末。计算 12–1、12–0 与向前、向后各挪一个月的窗口收益，以及 12–1 的求和值。

25-E02（手算） 8 个资产的 12–1 形成收益 $(40\%,25\%,18\%,10\%,10\%,-5\%,-12\%,-30\%)$，下月收益 $(3\%,1\%,4\%,0,2\%,1\%,-2\%,-3\%)$。取 $q=4$ 的最高桶与最低桶（并列处理按平均名次），求 $q=4$ 的桶号、多空权重与下月多空收益。

25-E03（手算） 四个资产符号 $(+1,\allowbreak -1,\allowbreak -1,\allowbreak +1)$，事前年化波动率 $(8\%,\allowbreak 16\%,\allowbreak 32\%,\allowbreak 20\%)$，目标 40%，下月收益 $(1.5\%,\allowbreak -3\%,\allowbreak 4\%,\allowbreak -1\%)$。求权重、总暴露、净暴露、组合收益与各资产贡献。

25-E04（手算） 两个资产，七个月 vintage：前三个月 $(0.5,-0.5)$，后四个月 $(-0.5,0.5)$。求 $K=1$ 与 $K=3$ 的目标权重换手，并验证 $\mathrm{turn}_s=\|w^{(s)}-w^{(s-K)}\|_1/K$。

25-E05（手算） 某股票价格 90，1 股拆为 3 股（3-for-1 split），拆股后价格 31，每新股现金分红 0.5。求总回报与未调整价格变动；若它在 12–1 形成窗口里，信号被低估多少个百分点？

25-E06（手算） 合约 A 的价格 50、52；展期时合约 B 的价格 55、56.1。求拼接价格的“收益”序列、可得收益序列与展期点的假收益。

25-E07（手算） 市场月收益全为 $+1\%$，只有第 3 个月为 $-35\%$。24 个月窗口的熊市状态在信号月 $s=23,24,26,27$ 分别是多少？说明状态翻转的原因。

25-E08（概念与手算） 资产 X 的两个月收益 $+50\%,-50\%$，Y 的为 $0,0$。分别用求和与复利排序；再给出三个月的例子，求和排序与复利排序相反。

25-E09（解释） 表 11 里 TS 12–0 的月均 1.391%，始终做多 1.779%。解释为什么不能把 1.391% 当作趋势的 alpha，应怎样检验趋势是否增加了价值。

25-N01（日历与数据诊断） 从第3.1节实际月份表计算12–1、12–0与求和，标出形成/跳月/持有时点。若有人把2026-01的收益乘入信号，指出泄漏。再令第6.7节拆股例中其他形成月财富乘积 $G=1.10$，求使用未调整价格造成的形成信号差，并说明期货换月时为什么不能赚到拼接跳跃。

16. 编程练习

25-P01 写测试：给定 14 个月收益，断言 formation_return(window=11, skip=1) 在月份 13 等于 8.1 节的值，并断言改变月份 13 及之后的收益不改变该行。验收：两条断言通过。

25-P02 构造 24 个月、10 个资产的随机权重 vintage，计算 $K=1,3,6$ 的组合换手，验证公式 $\|w^{(s)}-w^{(s-K)}\|_1/K$。验收：三个 $K$ 值误差小于 $10^{-12}$。

25-P03 在构造的带正漂移的随机游走面板（10 个资产，480 个月，月漂移 0.5%，月波动 4%）上计算时间序列 12–0 与同样缩放的始终做多，输出均值、$t$ 与差序列的 $t$；解释结果。验收：始终做多的均值高于时间序列组合，差序列 $t<-2$。

17. 挑战题

25-C01（证明） 证明重叠持有组合 $B_s=\frac1K\sum_{j=0}^{K-1}w^{(s-j)}$ 的相邻换手等于 $\|w^{(s)}-w^{(s-K)}\|_1/K$；若每个 vintage 的总暴露为 2，给出换手上界并说明何时取到；说明为什么 $K$ 增大不必然使换手按 $1/K$ 下降。额外先修：绝对值的三角不等式。评分：证明 40，上界 30，讨论 30。

25-C02（开放） 为 Project 4 的动量信号写完整的冻结计划与数据缺口表：窗口、总回报口径、历史成分与退市收益、成本与借券假设、崩溃状态的报告方式、多重检验计数。指出哪些字段在本课程现有数据里没有。评分：计划完整性 25，时间字段正确性 25，数据缺口 25，崩溃与成本的处理 25。

18. 完整答案与参考实现

25-E01 12–1：月份 2 到 12 的复利 $\prod_{k=2}^{12}(1+R_k)-1$：逐月乘积 $0.97\times1.02\times1.05\times0.99\times1.03\times1.02\times0.98\times1.01\times1.06\times0.96\times1.02=1.1101$，即 $+11.01\%$（舍入显示 $11.009\%$）；求和 $11.0\%$。12–0（月份 2 到 13，加月份 13 的 $+3\%$）：$1.1101\times1.03=1.1434$，$+14.34\%$。向前挪一个月（月份 1 到 11）：$13.19\%$；向后挪一个月（月份 3 到 13）：$17.88\%$。四个窗口相差 2 到 7 个百分点。

25-E02 按资产顺序，形成收益 $(40,25,18,10,10,-5,-12,-30)\%$ 的升序名次：$-30\to1$，$-12\to2$，$-5\to3$，两个 10 并列占 4、5 各 4.5，$18\to6$，$25\to7$，$40\to8$，所以名次 $(8,7,6,4.5,4.5,3,2,1)$。$q=4$，$n=8$：桶号 $\lfloor4(2r-1)/16\rfloor+1$：$r=8\to4$，$7\to4$，$6\to3$，$4.5\to3$，$3\to2$，$2\to1$，$1\to1$，即 $(4,4,3,3,3,2,1,1)$。最高桶是前两个资产（形成收益 40%、25%），最低桶是最后两个（$-12\%$、$-30\%$）。权重各腿 $\pm0.5$。多空 $=\tfrac12(3\%+1\%)-\tfrac12(-2\%-3\%)=2\%+2.5\%=4.5\%$。

25-E03 单个仓位 $\mathrm{sign}\times0.40/\sigma$：$(+5,\allowbreak -2.5,\allowbreak -1.25,\allowbreak +2)$；除以 4：权重 $(1.25,\allowbreak -0.625,\allowbreak -0.3125,\allowbreak 0.5)$。总暴露 $2.6875$，净暴露 $0.8125$。贡献：$1.25\times1.5\%=1.875\%$，$-0.625\times(-3\%)=1.875\%$，$-0.3125\times4\%=-1.25\%$，$0.5\times(-1\%)=-0.5\%$；组合 $2.0\%$。

25-E04 $K=1$：相邻换手 $0,0,2,0,0,0$，第 4 个月翻转，交易 2.0。$K=3$：$B_3=(0.5,-0.5)$；$B_4=\tfrac13(0.5+0.5-0.5)=(0.1667,-0.1667)$；$B_5=\tfrac13(0.5-0.5-0.5)=(-0.1667,0.1667)$；$B_6=(-0.5,0.5)$；$B_7=(-0.5,0.5)$。换手 $0.667,0.667,0.667,0$。验证：第 4 个月 $\|w^{(4)}-w^{(1)}\|_1/3=\|(-0.5,0.5)-(0.5,-0.5)\|_1/3=2/3$；第 5、6 个月同理；第 7 个月 $\|w^{(7)}-w^{(4)}\|=0$。总量 2.0，但每月只交易 0.667。

25-E05 总回报 $(3\times31+3\times0.5)/90-1=(93+1.5)/90-1=+5.0\%$；未调整价格变动 $31/90-1=-65.6\%$。拆股单月差为 $5.0-(31/90-1)\times100=70.5555556$ 个百分点（显示70.6）。若其余形成月份的财富乘积为 $G$，完整形成信号差为 $G\times70.5555556$ 个百分点；题中未给 $G$，不能唯一确定。只有 $G=1$ 时才等于单月差。

25-E06 拼接价格 $50,52,55,56.1$：收益 $4.00\%,\;5.77\%,\;2.00\%$。可得收益：持有 A $52/50-1=4.00\%$；展期无收益；持有 B $56.1/55-1=2.00\%$。展期点假收益 $55/52-1=5.77\%$。拼接的两段总价格变化 $56.1/50-1=12.2\%$，可得总收益 $1.04\times1.02-1=6.08\%$。

25-E07 月份按 1 到 30 编号，窗口月份 $s-23,\dots,s$，需要 24 个月历史。$s=23$：历史不足，状态为 NaN。$s=24$：窗口 1 到 24 含第 3 个月，累计 $1.01^{23}\times0.65-1=-18.3\%<0$，状态 1。$s=26$：窗口 3 到 26 仍含第 3 个月，状态 1。$s=27$：窗口 4 到 27 不含第 3 个月，累计 $1.01^{24}-1=+26.97\%$，状态 0。翻转的原因：窗口滑过崩溃月之后，累计收益不再包含它。

25-E08 X：求和 0，复利 $-25\%$；Y：求和 0，复利 0。求和并列，复利 Y 高于 X。三个月：X 的月收益 $+30\%,+30\%,-40\%$，求和 $+20\%$，复利 $1.3\times1.3\times0.6-1=+1.4\%$；Y 的月收益 $+10\%,+5\%,+4\%$，求和 $+19\%$，复利 $1.1\times1.05\times1.04-1=+20.1\%$。求和排序 X（20%）>Y（19%），复利排序 Y（20.1%）>X（1.4%）：相反。

25-E09 趋势组合平均净暴露 1.05、67% 的资产被判为多头，所以 1.391% 里含有（缩放后的）股票风险溢价：始终做多（同样缩放）就有 1.779%。检验趋势的价值要用差序列（TS − 始终做多）或把 TS 对始终做多回归取截距：差序列均值 $-0.389\%$（$t=-1.05$），截距的符号与显著性视回归系数而定。本章只报告差序列，结论是这个样本里没有观察到统计明确的正增量，不能由不显著证明增量为零。

25-P01 参考实现

import numpy as np
import pandas as pd

from quant_course.factor_signals import formation_return

r = [0.03, -0.02, 0.05, 0.01, -0.04, 0.06, 0.02, -0.01, 0.04, 0.03, -0.02, 0.05, -0.06, 0.02]
idx = pd.period_range("2020-01", periods=14, freq="M")
frame = pd.DataFrame({"a": r}, index=idx)
s = idx[12]
base = formation_return(frame, window=11, skip=1)
assert abs(base.loc[s, "a"] - (np.prod(1 + np.array(r[1:12])) - 1)) < 1e-12
shocked = frame.copy(); shocked.iloc[12:] = 0.9                                  # month 13 and later change
pd.testing.assert_frame_equal(base.iloc[:13], formation_return(shocked, window=11, skip=1).iloc[:13])

25-P02 参考实现：见第 9 节代码段四，保持原有K=1/3/6循环，将输入替换为 vint = pd.DataFrame(rng.choice([-0.5, 0.0, 0.5], size=(24, 10)), index=idx, columns=[f"A{i}" for i in range(10)])，其余差分、公式与断言不变；这给出题干要求的10列。

25-P03 参考实现

import numpy as np
import pandas as pd

from quant_course.momentum import ex_ante_volatility, strategy_returns, time_series_sign, tsmom_weights

rng = np.random.default_rng(3)
idx = pd.period_range("1980-01", periods=480, freq="M")
returns = pd.DataFrame(rng.normal(0.005, 0.04, (480, 10)), index=idx, columns=[f"A{i}" for i in range(10)])
vol = ex_ante_volatility(returns)
sig = time_series_sign(returns, window=12, skip=0)
ts = strategy_returns(tsmom_weights(sig, vol, target_vol=0.40), returns).dropna()
always = strategy_returns(tsmom_weights(pd.DataFrame(1.0, index=idx, columns=returns.columns).where(vol.notna()), vol, target_vol=0.40), returns).dropna()
diff = (ts - always).dropna()
t = diff.mean() / (diff.std(ddof=1) / np.sqrt(len(diff)))
assert always.mean() > ts.mean() and t < -2                     # independent returns: no trend to exploit; the 12-month sign filter shorts after a negative cumulative return and gives up the drift
print(round(100 * ts.mean(), 3), round(100 * always.mean(), 3), round(t, 2))

输出约为 0.500、1.565、$-5.14$：收益相互独立、只有正漂移时，符号过滤在过去12个月累计收益为负时做空，放弃了漂移，差序列显著为负（5 个种子里 $t$ 都小于 $-2.8$）。这是给定 iid 正漂移构造的符号过滤例，并不证明正收益自相关是趋势增量价值的一般必要条件；非线性可预测性、状态依赖和风险缩放也可能影响比较。行业样本差序列 $t=-1.05$ 只表示未见统计明确的均值优势，不能识别原因或证明没有增量。

25-C01 $B_s-B_{s-1}=\tfrac1K\bigl(\sum_{j=0}^{K-1}w^{(s-j)}-\sum_{j=1}^{K}w^{(s-j)}\bigr)=\tfrac1K(w^{(s)}-w^{(s-K)})$（两个和共有 $j=1..K-1$ 的项）。取 $\ell_1$ 范数得 $\mathrm{turn}_s=\|w^{(s)}-w^{(s-K)}\|_1/K$。每个 vintage 总暴露 2，三角不等式 $\|w^{(s)}-w^{(s-K)}\|_1\le\|w^{(s)}\|_1+\|w^{(s-K)}\|_1=4$，所以 $\mathrm{turn}_s\le4/K$；取等号当且仅当对每个资产 $i$ 都有 $w^{(s)}_iw^{(s-K)}_i\le0$（该资产在两个 vintage 中符号相反，或至少一个为零）。$K$ 增大时分母变大，但分子 $\|w^{(s)}-w^{(s-K)}\|_1$ 也会变化，并无随 $K$ 单调增大的普遍定理（周期性信号就可能先增后减），所以换手不按 $1/K$ 严格下降：行业数据上 $K=3$ 的分子均值约 1.55，$K=1$ 的约 0.90。评分按原稿三项。

25-C02（评分依据与参考） 计划要点：假设与符号（赢家下月收益更高，符号 +）；信号 12–1 总回报；股票池按 signal_time 的历史成分，含退市收益；窗口 11 个月跳月 1 个月；组合最高与最低十分位等权，$K=1$ 主规格；成本假设按单位换手与借券费分别给出；主指标逐期 Rank IC 的 NW $t$；崩溃状态：过去 24 个月市场总收益为负时的条件均值与最差月份；试验预算与账本；留出样本。数据缺口：个股总回报与调整价格、历史成分与退市收益、借券费率与可借股数，本课程现有数据均没有。评分按原稿四项。

25-N01完整答案。 2025-01至11共11项，累计财富1.1547369892，12–1为15.4737%；求和15%；含12月的12–0为21.2474%。12月是跳月；1月2026是下月持有标签，信号形成时未知，加入是前视。拆股例正确单月4%、未调整单月-49%，差53个百分点，乘 $G=1.10$ 后形成信号差58.3个百分点。展期同刻卖A买B没有从A的102到B的106的价格上涨路径；两个不同索取权的价格差不能计为持有收益，须分别计算各合约持有P&L。

19. 延伸阅读

• Must Know：Jegadeesh 与 Titman（1993）§I 与 §II 开头，读 J/K 策略、重叠持有与对 32 次检验的 Bonferroni 说明。
• Must Know：Asness、Moskowitz 与 Pedersen（2013）印刷页 936–937，读 MOM2–12 的定义与跳月理由。
• Should Know：Moskowitz、Ooi 与 Pedersen（2012）§2.4 与 §4.1，读波动率缩放与 TSMOM 的式 (5)。
• Should Know：Daniel 与 Moskowitz（2014 工作稿）摘要与表 3 说明，读崩溃状态的定义；期刊终稿未读。
• Advanced：Moskowitz–Grinblatt（1999）行业动量原文；本章未读。
• Optional：French 数据库 Mom 因子说明页，核对 prior (2-12) 的定义。

20. 参考资料

引用键与读取范围见 source_notes.md。

• CH25_JT1993：Jegadeesh, N., Titman, S. (1993). Journal of Finance 48(1)，印刷页 68–69。
• CH25_AMP2013：Asness, C. S., Moskowitz, T. J., Pedersen, L. H. (2013). Journal of Finance 68(3)，印刷页 936–937。
• CH25_MOP2012：Moskowitz, T. J., Ooi, Y. H., Pedersen, L. H. (2012). Journal of Financial Economics 104(2)，§2.4、§4.1。
• CH25_DM2014：Daniel, K., Moskowitz, T. J. (2014). NBER Working Paper 20439，摘要、印刷页 8、表 3 说明；期刊终稿未读。
• CH25_FRENCH_MOM_PAGE：Ken French 数据库 Mom 因子说明页。
• FRENCH：French 行业与 FF3 冻结快照（data/manifests/）。